ПРИЛОЖЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА

1П. Классификация физических величин. Тензоры

Все физические величины поддаются простой и естественной классификации, возникшей исторически и основанной на использовании одного из важнейших методов познания — метода аналогий. Начнем с описания простейшего физического явления движения материальной точки. Положение точки по отношению к некоторому телу отсчета задается тремя числами которые определяют радиус-вектор точки и называются его компонентами или координатами. Закон, по которому устанавливается соответствие между положением точки в пространстве и числами ), определяется выбором системы координат (декартовой, цилиндрической, сферической и др.). Иначе говоря, задание системы координат равносильно заданию одно-однозначной векторной функции

Если бы мы выбрали другой способ задания положения точки, скажем, с помощью чисел , то из-за однозначности соответствия должно было бы быть

откуда сразу же следует, что связаны между собой, т. е.

Принято говорить, что соотношение типа задает преобразование координат.

Рассмотрим бесконечно малое смещение точки В этом случае из следует, что

Здесь мы ввели обозначение для частной производной и использовали очень удобное правило суммирования Эйнштейна, согласно которому по повторяющимся верхнему и нижнему индексам всегда производится суммирование.

Мы видим, что соотношение позволяет вычислить бесконечно малое смещение точки в любой системе координат и задает, таким образом, закон преобразования бесконечно малых смещений (или скоростей) при преобразовании координат. Ввиду универсальности соотношения которое справедливо для произвольных преобразований координат удобно именно его положить в основу классификации физических величин.

Прежде всего дадим определение вектора. Три величины ) образуют трехмерный вектор а, если они при преобразовании координат изменяются так же, как и т. е.

Числа называются в этом случае контравариантными компонентами вектора а. Примером вектора может служить вектор скорости материальной точки

Если мы возьмем векторов то из их компонент можно образовать произведения вида где Величины которые при преобразовании координат изменяются так же, как эти произведения, т. е. закону

определяют тензор ранга (или валентности и называются его контравариантными компонентами.

Полезно отметить, что с этой точки зрения радиус-вектор точки не является настоящим вектором (тензором первого ранга), поскольку его закон преобразования совпадает с только для линейных преобразований координат вида

где не зависящая от х матрица. Компоненты ускорения также образуют вектор только по отношению к линейным преобразованиям.

Частным случаем преобразований являются вращения, включающие в себя повороты координатных осей и отражения. В частности, преобразование отражения в декартовых координатах принимает вид

поэтому для тензора ранга

Однако встречаются еще и такие физические величины, которые при отражении приобретают дополнительный знак минус по сравнению с Подобные величины получили название псевдовеличин (Или аксиальных величин). Для псевдотензоров, обозначаемых получается тогда следующий закон преобразования при отражении:

при поворотах же они ведут себя как нормальные тензоры.

Рассмотрим теперь закон преобразования координат в том случае, когда координаты х—декартовы, произвольные другие. В декартовых координатах всегда можно ввести ортогональную тройку базисных единичных векторов и положить

Если заданы два вектора с декартовыми компонентами соответственно, то ортогональность базиса позволяет записать их скалярное произведение в виде

Выберем две близкие точки и и вычислим квадрат расстояния между ними, воспользовавшись произвольными координатами х. Из (1П.4) и (1П.10)

где локальный репер. Поэтому квадрат расстояния

где

Величины образуют метрический тензор, характеризующий выбранную систему координат В частности, в декартовых координатах

т. e. - символ Кронекера, равный 1 при и при Координаты, для которых при называются ортогональными.

(см. скан)

Очевидно, что ортогональные координаты характеризуются тремя параметрами называемыми параметрами Ламе. При этом

Заметим, что можно всегда привести к инвариантной, т. е. не зависящей от вида используемых координат, форме, если ввести обозначение

В таком случае для декартовых координат и поэтому

Подставляя в закон преобразования находим

откуда

Величины преобразующиеся так же, как т. е. по закону и совпадающие с в декартовых координатах, называются ковариантными компонентами вектора а.

(см. скан)

По определению, ковариантные компоненты тензора ранга преобразуются как произведения ковариантных компонент векторов и совпадают с в декартовой системе координат. Таким образом, в соответствии с

Аналогично определяются смешанные компоненты тензора т. е. раз ковариантные и раз контравариантные. Они преобразуются как

произведения соответствующих компонент векторов и в декартовой системе координат совпадают с

(см. скан)

Из определения тензора сразу следует, что произведение компонент двух тензоров рангов тип дает компоненты нового тензора ранга При этом, например,

Такой способ получения новых тензоров называется внешним или тензорным умножением. Кроме того, применяется еще и дополнительная операция, называемая сверткой и состоящая в суммировании по некоторым парам индексов разной вариантности. Внешнее умножение, дополненное сверткой, называется внутренним умножением тензоров. Примером внутреннего умножения является образование скалярного произведения двух векторов.

(см. скан)

Чаще всего приходится иметь дело с тензорами второго ранга обозначаемыми Внутреннее умножение в таких случаях показывается точкой, а свертка в самом тензоре знаком Тогда, к примеру, равенства

перепишутся следующим образом:

Из тензоров третьего ранга нам понадобится единичный псевдотензор Леей-Чивиты , который полностью антисимметричен, т. е. меняет знак при перестановке любых двух индексов, а в декартовых координатах В силу псевдотензорности при отражениях остается неизменным. С помощью можно двум векторам сопоставить псевдовектор называемый их векторным произведением

(см. скан)

По аналогии с каждому вектору а можно сопоставить псевдовектор, обозначаемый и называемый ротором или вихрем вектора а. Его контравариантные компоненты образуются по правилу

(см. скан)

Мы ознакомились с двумя дифференциальными операциями векторного анализа — взятием градиента и ротора. Существует еще и третья операция - взятие дивергенции вектора, обозначаемая и определяемая следующим образом:

(см. скан)

В заключение этого параграфа разъясним смысл часто используемых в физике понятий ковариантности и инвариантности уравнений. Уравнение принято называть ковариантным относительно некоторого преобразования координат, если в результате преобразования оно не меняет своей формы, т. е. левая и правая его части преобразуются одинаково. Если же еще окажется, что преобразованное уравнение, будучи выраженным в новых координатах, не содержит параметров преобразования, то оно называется инвариантным относительно этого преобразования. В этом же смысле используется и понятие инвариантных тензоров. Именно: тензор называется инвариантным относительно некоторого преобразования координат, если преобразованный тензор, будучи выраженным в новых координатах, оказывается неизменным, т. е. не зависящим от параметров преобразования. К примеру, относительный радиус-вектор двух точек инвариантен относительно сдвига а тензоры и инвариантны относительно вращений .