§ 46. ПОЛЕ ПРОИЗВОЛЬНО ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА

Пусть точечный заряд движется по заданной траектории скоростью Для описания электромагнитного поля, порождаемого таким зарядом, введем плотности заряда и тока:

Кроме того, предположим, что применимо запаздывающее решение уравнений поля, т. е. отсутствует как излучение, приходящее из бесконечности, так и тепловое излучение («температура» вакуума равна нулю).

В данном случае удобнее записать запаздывающие потенциалы в форме (41.13), воспользовавшись запаздывающей функцией Грина (41.19):

где Подставляя (46.1) в (46.2) и выполняя объемное интегрирование с учетом свойств -функции, находим:

где

Используем свойство -функции, согласно которому для всякой функции имеющей однократные нули справедливо представление

В данном случае

поэтому

где Если считать, что заряд движется со скоростью то При этом функция монотонна и уравнение имеет единственный корень

Таким образом, согласно (46.4) и (46.6), имеем

Подставляя (46.8) в (46.3), преобразуем запаздывающие потенциалы:

{потенциалы Льенара — Вихерта). Здесь индекс означает, что выражение в скобках берется в запаздывающий момент времени, определяемый уравнением (46.7). Особенность формулы (46.9) состоит в том, что электромагнитные потенциалы в точке наблюдения в момент времени определяются положением и скоростью заряда в некоторый предшествующий момент времени вычисляемый из (46.7).

С помощью потенциалов Льенара — Вихерта нетрудно вычислить векторы

Замечая, что

находим последовательно, опуская индекс запаздывания ,

В результате получаем

Для подсчета мощности, теряемой неравномерно движущимся зарядом на излучение, нужно составить выражение для вектора Пойнтинга и оставить в нем члены, обратно пропорциональные поскольку интегрирование будет производиться по бесконечно удаленной поверхности. Иначе говоря, необходимо рассмотреть

волновую зону. Так как в ней поле поперечно, т. е. удовлетворяет условию то вектор Пойнтинга имеет вид

где

Подставляя (46.14) в (46.13), для углового распределения мощности излучения находим выражение

Интегрируя (46.15) по бесконечно удаленной замкнутой поверхности, можно получить полную мощность излучения однако она не совпадет с истинными потерями энергии заряда на излучение. Чтобы понять, почему это так, окружим заряд некоторой замкнутой и жестко связанной с ним поверхностью, например сферой радиуса с центром в точке нахождения заряда в запаздывающий момент времени Очевидно, что поток энергии сквозь такую поверхность и определяет истинные потери энергии заряда Но так как поверхность перемещается в пространстве со скоростью у заряда, то поток энергии сквозь нее определяется не только вектором Пойнтинга, но еще и переносной плотностью потока энергии, равной — Таким образом, результирующая плотность потока энергии сквозь поверхность определяется вектором

Замечая, что для поля излучения плотность энергии равна

для скорости потерь энергии зарядом в данном направлении найдем

или с учетом (46.10)

Таким образом, если некоторая порция электромагнитной энергии была испущена зарядом за время то в точке наблюдения она регистрируется за время

Это обстоятельство позволяет записать скорость потерь энергии зарядом на излучение в виде

(см. скан)

Соотношение (46.21) впервые было получено А. Льенаром в 1898 г. Нетрудно видеть, что в пределе

т. е. получается уже известный нам результат Лармора (43.9). В этом случае в волновой зоне

что соответствует дипольному излучению, описываемому вектором Пойнтинга

В том случае, когда наблюдается резкая анизотропия излучения. Так, в направлении движения заряда, т. е. при и Еизл конечно при Это говорит о том, что излучение в основном направлено вперед, будучи сосредоточенным в узком конусе вблизи вектора скорости частицы. Примером такого направленного излучения может служить синхротронное излучение, испускаемое ультрарелятивистским зарядом, движущимся в магнитном поле со скоростью, приближающейся к световой.

(см. скан)