§ 88. СИЛА РЕАКЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ

Как уже отмечалось выше, в уравнениях движения (85.5) учитывается лишь внешнее электромагнитное поле действующее на заряд но игнорируется поле излучения самого заряда. Иными словами, в этих уравнениях не учитывается сила реакции излучения, которая в нерелятивистском случае, согласно (47.8), равна

В релятивистском случае, когда скорость частицы сравнима со скоростью света, это выражение должно быть обобщено

и заменено 4-вектором сводящимся к (88.1) лишь в пределе медленных движений.

Имея в виду, что всегда можно однозначно восстановить 4-вектор по его нерелятивистскому аналогу применив прямой метод (см. § 85), попытаемся выявить структуру релятивистской силы реакции излучения, наложив условие, чтобы в мгновенно сопутствующей системе отсчета она имела компоненты

Из структуры следует, что может зависеть лишь от характера движения заряда, но не от вида внешних сил. Иначе говоря, в могут входить различные производные от но не выше второго порядка. Всем этим условиям, очевидно, удовлетворяет 4-вектор

где — некоторые скалярные функции, зависящие от

Заметим теперь, что как любой 4-вектор силы, должен удовлетворять условию (84.3):

Поэтому, подставляя (88.3) в (88.4), находим

Отсюда с учетом тождества (84.2) и вытекающего из него соотношения

получим

Таким образом, нам остается определить лишь две скалярные функции: Воспользуемся для этого свойством нечетности при отражении времени:

вытекающим из аналогичного свойства Для того чтобы структура (88.3) была согласована с (88.6), необходимо, чтобы функции обладали следующими свойствами симметрии:

Поскольку можно строить только из из (88.7) следует, что должно быть пропорциональным т. е. а а может быть произвольной функцией от инварианта который в нерелятивистском пределе сводится к — и Однако сравнение с (88.1) показывает, что в этом пределе а совпадет с постоянной т. е. не может зависеть от Таким образом, и с учетом (88.5) получаем окончательно

(см. скан)

Теперь уже нетрудно записать и релятивистские уравнения движения заряда в электромагнитном поле с учетом силы реакции излучения. Для этого достаточно добавить 4-силу в правую часть уравнений Минковского (85.5):

Эти уравнения движения впервые были получены в 1938 г. английским физиком Дираком и обычно называются классическими уравнениями движения Дирака — Лоренца.

(см. скан)

В качестве полезного примера использования уравнений движения (88.9) рассмотрим задачу о синхротронном излучении, т. е. об излучении ультрарелятивистского заряда, движущегося в сильном магнитном поле В. В этом случае скорость заряда близка к скорости света, т. е. и с В первом приближении примем, что заряд движется по окружности некоторого радиуса поперек магнитного поля В, а сила реакции излучения оказывает незначительное влияние на характер его движения, т. е. ее можно считать малой по сравнению с силой Лоренца. Запишем в указанном приближении пространственную часть уравнений (88.9):

Так как и для движения по окружности радиуса

то из (88.11) выводим

Таким образом, энергия частицы оказывается связанной с радиусом орбиты соотношением

Наконец, из уравнений (88.9), записанных в форме

следует, что отношения должны быть одного порядка малости. Поэтому скорость энергетических потерь на излучение, согласно (88.10) и (88.12), приближенно равна

или в другой форме, с учетом (88.13),

Таким образом, скорость потерь энергии на синхротронное излучение пропорциональна четвертой степени энергии заряженной частицы.

Практически важным показателем являются относительные потери энергии частицы на излучение за один оборот:

В частности, для электрона с энергией в магнитном поле с индукцией имеем — т.е. относительные потери энергии на излучение составляют 0,25% на оборот.