§ 39. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

Рассмотрим случай, когда электромагнитное поле зависит лишь от т. е. распространяется со скоростью вдоль оси Тогда уравнения (38.2), записанные для компонент векторов примут вид

Решение этой системы:

где произвольные функции Исключая неинтересные с физической точки зрения постоянные поля находим два независимых решения исходной системы уравнений:

Направив вдоль оси X единичный вектор убеждаемся, что векторы должны быть связаны соотношением

Полученные независимые решения уравнений (38.2) отвечают двум возможным видам линейной поляризации плоской электромагнитной волны. Особенностью этих решений является поперечностъ электромагнитного поля, выражающаяся равенствами Используя (39.5), плотность энергии электромагнитного поля и вектор Пойнтинга для указанных решений можно представить следующим образом:

Частным случаем этого решения являются монохроматические плоские волны, для которых функции выбираются в виде

где некоторые постоянные. При этом А называется амплитудой волны, фазовой постоянной. Часто используют более удобную комплексную форму, замечая, что физический смысл имеют соответственно действительная или мнимая части решения, объединение которых возможно вследствие линейности исходных уравнений. С учетом этого монохроматическую плоскую линейно поляризованную волну удобно описывать следующим образом:

Аналогично, для монохроматической плоской эллиптически поляризованной волны

причем в случае получается волна, поляризованная по кругу.

(см. скан)

Итак, монохроматическая плоская волна всегда может быть представлена в виде суперпозиции линейно поляризованных волн, каждая из которых характеризуется амплитудой единичным вектором поляризации и волновым вектором k. При

этом два возможных вектора поляризации и вектор к образуют ортогональную тройку векторов. Каждому вектору к соответствуют два возможных значения частоты отличающиеся лишь знаком, что приводит к изменению направления распространения волны. Следовательно, для получения общего решения уравнений Максвелла без источников в однородной среде достаточно взять суперпозицию решений вида

т. е. рассмотреть интеграл Фурье

Эта формула описывает действительное поле если

В последнем нетрудно убедиться, взяв комплексное сопряжение от (39.11) и сделав замену переменной интегрирования Воспользовавшись соотношением (39.5), находим индукцию магнитного поля, отвечающую решению (39.11):

Во многих физических задачах приходится рассматривать волновые пакеты, представляющие собой решения уравнений Максвелла типа (39.11), (39.13), которые достаточно быстро спадают на бесконечности. Очевидно, что волновые пакеты описывают сгустки электромагнитного поля, занимающие некоторые ограниченные области пространства. Для описания движения волнового пакета удобно ввести понятие его центра масс, т. е. точки с радиусом-вектором

(см. скан)

Обратимся теперь к знаменитым опытам Лебедева по измерению давления света. Этими опытами впервые была доказана электромагнитная природа света. Если поместить некоторое поглощающее тело в поле электромагнитной волны, то, согласно (13.4), на него действует сила с плотностью

Если соотношение (39.16) усреднить по времени, то очевидно, исчезает и для средней плотности силы имеем

Рис. 39.1

Интегрируя (39.17) по объему V гела и применяя теорему Гаусса — Остроградского в форме найдем полную силу, действующую на тело:

Итак, электромагнитное поле оказывает на поверхность тела давление

Если тело занимает полупространство и электромагнитные волны падают на его поверхность нормально, то с учетом (13.56) и того, что имеем

В другом частном случае изотропного излучения, когда вследствие статистической независимости различных компонент полей

электромагнитное давление равно

Пользуясь полученными результатами, уже нетрудно объяснить и опыты Лебедева. В этих опытах на поглощающее тело некоторой массы падает пакет электромагнитных волн, занимающий некоторый объем (рис. 39.1). Так как пакет поглощается телом в течение времени то импульс, сообщенный телу согласно соотношению (39.20), справедливому в пренебрежении расплыванием пакета, т. е. при условии равен

где энергия волнового пакета, не зависящая от времени по закону сохранения энергии. Вводя массу волнового пакета, т. е. принимая его импульс равным из закона сохранения импульса получаем

Отсюда вытекает важная связь между энергией и массой волнового пакета, которая независимо могла быть получена и из соотношения (39.15):