§ 91. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ И ПОЛЕЙ

В предыдущих параграфах мы получили законы сохранения энергии и импульса для системы зарядов, взаимодействующих посредством электромагнитного поля. Рассмотрим теперь произвольную совокупность частиц, взаимодействующих посредством некоторой системы полей, которой, по аналогии с электромагнитным случаем, припишем тензор энергии — импульса такой, что плотность 4-силы действующей на частицы со стороны полей, оказывается равной

Если, с другой стороны, по аналогии с (90.14), эту плотность 4-силы представить в виде дивергенции некоторого «материального» тензора то для полного тензора очевидно, справедливо равенство

В таком случае выполняются условия теоремы Беккера, что позволяет записать сохраняющийся полный 4-импульс в виде

Обычно в полном 4-импульсе выделяют 4-импульсы отдельных материальных частиц и 4-импульс полей полагая

или в компонентах:

где энергия частицы; ее трехмерный импульс; соответственно энергия и трехмерный импульс полей, переносящих взаимодействие.

Производя такое разбиение полного 4-импульса, следует помнить (см. § 90), что каждый из 4-импульсов или

в отдельности, вообще говоря, уже не является 4-вектором в отличие от полного 4-импульса 4-векторами они будут лишь в случае, когда частицы практически не взаимодействуют друг с другом и с рассматриваемой системой полей. В самом деле, только тогда каждую частицу можно окружить некоторой замкнутой поверхностью в точках которой выполнено равенство

Нетрудно видеть, что условия (91.7) и (91.2) эквивалентны условиям теоремы Беккера, поэтому можно определить 4-импульс частицы как

т. е. произвести интегрирование по объему ограниченному поверхностью Из той же теоремы Беккера следует, что компоненты образуют 4-вектор, т. е. справедливо соотношение (89.23).

Аналогично строится и 4-импульс полей, переносящих взаимодействие:

где все пространство за вычетом областей Очевидно, что компоненты также образуют 4-вектор.

Указанные выше условия (91.7) можно считать всегда выполненными в реальных физических экспериментах с элементарными частицами. В этих экспериментах обычно изучается взаимодействие частиц, выводимых из ускорителя, с частицами неподвижной мишени. Сам процесс взаимодействия падающих частиц с мишенью занимает ничтожные доли секунды, а большую часть времени частицы находятся в свободном состоянии. Поэтому если рассматривать состояния нашей системы частиц лишь в моменты времени, достаточно отдаленные от момента непосредственного взаимодействия (т. е. рассматривать либо сближение частиц, либо их разлет), то все частицы можно считать практически невзаимодействующими. Такие состояния принято называть асимптотически свободными.

Каждой системе взаимодействующих частиц можно сопоставить инвариантную сохраняющуюся величину — собственную массу этой системы

Если же состояние асимптотически свободно, то можно определить и собственные массы поля и отдельных частиц:

Нетрудно убедиться, что имеет место неравенство

выражающее неаддитивность собственной массы, т. е. несовпадение собственной массы системы с суммой собственных масс составляющих ее частей.

Для доказательства неравенства (91.10) выберем систему отсчета, связанную с центром масс системы частиц (коротко — система центра масс), в которой Тогда собственная масса системы равна

где скорость частицы в системе центра масс. Отсюда с учетом очевидных неравенств и следует (91.10).

В современной теории элементарных частиц каждому полю сопоставляются особые частицы — кванты этого поля (в частности, электромагнитному полю сопоставляются фотоны — кванты света). Предполагая кванты поля асимптотически свободными, можно произвести разбиение:

— и таким образом свести систему частиц, взаимодействующих посредством поля, к совокупности свободных частиц. В этом случае неравенство (91.10) принимает вид

где собственные массы асимптотически свободных частиц, включая и кванты поля. Так как скорость фотона то убеждаемся с помощью (89.23), что для него

где единичный вектор, направленный вдоль импульса фотона. Следовательно, собственная масса отдельного фотона равна нулю:

Поэтому для совокупности фотонов неравенство (91.12) принимает вид

т. е. собственная масса произвольного поля излучения, вообще говоря, отлична от нуля, хотя собственные массы отдельных фотонов, составляющих это поле, равны нулю. Этот результат легко понять, если с учетом (91.13) записать собственную массу совокупности фотонов:

Это выражение равно нулю только в том случае, когда все векторы одинаково направлены, т. е. все фотоны движутся в одном направлении. В общем же случае произвольно движущихся фотонов

(см. скан)