§ 50. КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ТОКИ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОВОДНИКАХ

Из общих уравнений Максвелла для квазистационарных процессов нетрудно получить основные уравнения для токов в системе квазилинейных проводников, обычно используемые при расчете линейных цепей, содержащих такие элементы, как резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности. Однако проще всего эти расчетные уравнения вывести из закона сохранения электрического заряда и закона электромагнитной индукции Фарадея.

Но если в (10.4) закон Фарадея был сформулирован в виде

где магнитный поток сквозь неподвижный контур то наиболее общая его формулировка (1.17) предполагает произвольно деформирующийся проводящий контур (см., однако, задачу 1.9). При этом э. д. с. в контуре оказывается равной

Рис. 50.1

Покажем, что уравнение (50.2) может быть выведено из (50.1), если учесть движение контура. Для этого введем скорость и движения произвольной точки контура (рис. 50.1). Так как за время элемент контура опишет ориентированную площадку

то вызванное движением контура изменение магнитного потока равно

В результате полная скорость изменения магнитного потока

С учетом (50.1) соотношение (50.4) можно переписать в виде

где

— эффективная, или действующая, напряженность электрического поля в движущемся контуре. Очевидно, что если

то (50.5) эквивалентно (50.2). Легко понять, что в движущемся проводнике истинная э. д. с. описывается именно формулой (50.7), поскольку на заряды, создающие ток в движущемся проводе, действует полная сила Лоренца

(см. скан)

Итак, будем исходить из уравнения (50.5), которое применим для описания токов в некоторой системе квазилинейных

Рис. 50.2

проводников (включающих различные омические нагрузки, катушки самоиндукции, трансформаторы, цепи электродвигателей и тому подобное), которые могут содержать и разрывы в виде конденсаторов.

Заметим, что внутри движущегося проводника, согласно закону Ома, или

а внутри конденсатора, по условию (49.7),

Используем (50.8) и (50.9) для вычисления контурного интеграла в (50.5). При этом для проводящего участка контура с сопротивлением

В то же время для участка с конденсатором емкостью С (рис. 50.3)

где заряд конденсатора. Зная силу тока, проходящего через конденсатор, и принимая для простоты имеем

С учетом соотношений (50.10) и (50.11) для некоторого замкнутого контура

где сумма распространяется на все элементы контура. Вводя взаимную индуктивность двух элементов, по которым протекают токи и 4, для магнитного потока связанного с контуром и входящего [см, (50.5)] в левую часть (50.12), получаем

Рис. 50.3

В результате (50.12) принимает вид

Мы получили второй закон Кирхгофа для линейной цепи переменного тока: сумма сторонних э. д. с. свзятая по некоторому замкнутому контуру, равна сумме падений напряжений на всех индуктивных, емкостных и омических элементах этого контура.

Наконец, для разветвленных цепей уравнения (50.14) следует дополнить первым законом Кирхгофа. Для его получения воспользуемся соотношением

являющимся очевидным следствием (49.6) и выражающим закон сохранения электрического заряда в квазистационарном приближении. Интегрируя (50.15) по некоторому объему, включающему точку разветвления цепи, и используя теорему Гаусса — Остроградского, находим

или

где сумма берется по всем ответвлениям, сходящимся в данной точке, а под токами понимаются как токи проводимости, так и квазистационарные токи смещения. Соотношение (50.16) и представляет собой первый закон Кирхгофа: сумма сил токов, притекающих к точке разветвления цепи, равна нулю.

Итак, для расчета линейных цепей с квазистационарными токами достаточно составить и решить систему уравнений Кирхгофа (50.14) и (50.16). В наиболее распространенном случае, когда токи и э. д. с. зависят от времени гармонически:

не зависят от времени, второй закон Кирхгофа принимает вид

где введена матрица комплексного сопротивления (импеданс)

Рис. 50.4

Рис. 50.5

действительная часть которой содержит активные сопротивления а мнимая — реактивные сопротивления

В качестве примера рассмотрим простую цепь, состоящую из последовательно включенных индуктивности емкости С и сопротивления (рис. 50.4). В этом случае

где

Очевидно, что между током и э. д. с. появляется сдвиг фаз

что принято изображать на диаграмме ток — напряжение (рис. 50.5). Если подсчитать выделяющуюся в цепи тепловую мощность, то найдем

В связи с этим сдвиг фаз [см. (50.21)] часто называют углом потерь. Будучи весьма важной характеристикой линейной цепи, позволяющей определить в ней тепловые потери, обычно всегда указывается в паспортах различных технических устройств, например электродвигателей переменного тока.

Замечая, что импеданс системы является функцией частоты приложенной нетрудно определить ту частоту при которой сила тока в цепи максимальна, т. е. наступает резонанс. Согласно (50.21), при этой частоте минимально, откуда т. е.

(формула Томсона). Нетрудно видеть, что при резонансной частоте т. е. потери в цепи максимальны — контур отбирает от источника максимальную энергию.

Рис. 50.1

Часто в реальных конденсаторах и катушках индуктивности также наблюдаются потери, что связано с проводимостью используемых материалов. Эти потери удобно описывать с помощью формализма комплексных проницаемостей Полагая импедансы конденсатора и катушки индуктивности можно представить в следующей форме:

Тогда соответствующие углы потерь имеют вид

(см. скан)