§ 51. ПРЕВРАЩЕНИЕ ЭНЕРГИИ В ЦЕПИ ЛИНЕЙНЫХ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ТОКОВ. ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ

Из уравнений Максвелла в квазистационарном приближении нетрудно получить теорему Пойнтинга, которая выглядит так же, как и в общем случае:

но с тем отличием, что выражение для плотности энергии электромагнитного поля равно

т. е. оставляется лишь потенциальная часть электрического поля В связи с этим отлична от нуля практически только в конденсаторах, т. е. полная электрическая энергия равна

в то время как магнитная энергия имеет обычный вид, как и для системы постоянных токов:

Запишем теперь интегральную теорему Пойнтинга:

Поверхностный интеграл в (51.5), описывающий потери системы на излучение, в квазистационарном приближении исчезает, так как [см. (49.6)] на поверхности которую будем считать сферой бесконечно большого радиуса имеем:

Наконец, преобразуем интеграл в левой части (51.5). Полагая в соответствии с законом Ома

где — скорость движения проводников или обкладок конденсаторов, находим

Здесь -плотность тока в неподвижных проводниках, плотность силы Лоренца. Так как для линейных токов то

Наконец, последний член в (51.6) представляет собой мощность силы Лоренца и в соответствии с теоремой живых сил может быть приведен к виду где -кинетическая энергия системы. В результате уравнение (51.6) можно преобразовать:

Подстановка (51.6а) в (51.5) позволяет записать закон сохранения энергии в системе квазистационарных токов в виде

Структура этого уравнения говорит о существовании далеко идущей аналогии между системой квазистационарных токов

и механической системой с диссипацией. В самом деле, если заряды рассматривать как обобщенные координаты, то силы токов должны играть роль обобщенных скоростей. При этом уравнения Кирхгофа (50.14) и (50.16) можно записать в форме уравнений Лагранжа

в которых функция Лагранжа и диссипативная функция Рэлея имеют соответственно такой вид:

Итак, энергия магнитного поля играет роль кинетической, а энергия электрического поля — роль потенциальной энергии, что полностью согласуется с выражениями для обобщенных сил (23.15) и (33.8).

Отмеченное обстоятельство позволяет легко вычислять механические силы взаимодействия токов и зарядов, обычно называемые пондеромоторными силами. Так, если коэффициенты или входящие в А, явно зависят от некоторых геометрических параметров (обычно размеров или расстояний), которые могут изменяться со временем, то соответствующие им обобщенные силы находят по правилу

Если к лагранжиану А добавить соответствующую механическую часть, зависящую от то нетрудно получить и уравнения движения для параметров с учетом пондеромоторных сил (51.11), действующих на элементы системы со стороны электромагнитного поля.

В качестве примера возьмем катушку самоиндукции длины поперечного сечения с обмоткой из витков провода. Тогда сила, действующая на катушку в направлении равна

т. е. соленоид стремится сократиться, что качественно объясняется притяжением двух соседних витков с током. В то же время сила, действующая вдоль равна

т. е. соленоид стремится растянуться, что качественно объясняется отталкиванием тех элементов витков, токи в которых противоположны. Так, в известных опытах П. Л. Капицы по созданию сверхсильных магнитных полей сила тока достигала миллионов ампер и часто катушки разрывались, не выдерживая нагрузок.

(см. скан)

Рис. 51.1