§ 13. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ЗАРЯДЫ И ТОКИ

Рассмотрим макроскопический элементарный объем которому соответствуют некоторый распределенный свободный электрический заряд и элемент тока Тогда, согласно закону Кулона и формуле Ампера (1.9), на этот объем в электромагнитном поле будет действовать сила

что позволяет ввести плотность силы действующей на распределенные заряды и токи:

Естественным следствием (13.2) (см. задачу 1.8) является выражение для силы, действующей в электромагнитном поле на отдельный точечный заряд и получившей название силы Лоренца:

По аналогии, выражение (13.2) называется плотностью силы Лоренца в электромагнитном поле.

Задача 13.1. Показать, что при отсутствии вещества плотность силы Лоренца может быть приведена к виду

или в компонентах

где

тензор натяжений Максвелла, имеющий компоненты

Для выяснения физического смысла воспользуемся законом сохранения импульса и покажем, что электромагнитному полю необходимо приписать механический импульс. Пусть источники электромагнитного поля, т. е. свободные заряды и токи, сосредоточены в некотором объеме V, окруженном неподвижной поверхностью и обладают механическим импульсом Если через обозначить импульс электромагнитного поля в том же объеме, то ясно, что суммарный импульс системы «поле источники» может измениться лишь в результате перетекания импульса электромагнитного поля через поверхность Поэтому можно записать

где — плотность потока импульса электромагнитного поля в направлении.

В то же время, по второму закону динамики, сила, действующая на источники со стороны электромагнитного поля, равна

или с учетом (13.4)

Преобразуя последний интеграл к поверхностному с помощью теоремы Гаусса — Остроградского находим

Сравнение этой формулы с (13.6) показывает, что

т. е. - плотность импульса электромагнитного поля, плотность потока компоненты импульса электромагнитного поля в направлении.

При рассмотрении электромагнитного поля в среде необходимо учитывать еще и силы, действующие на связанные заряды и токи. Однако их уже нельзя рассчитывать по формуле (13.2). В самом деле, макроскопическую плотность силы Лоренца естественно определить (см. § 2) как

где характеризуют электромагнитное поле в точке нахождения заряда за вычетом его собственного поля. В случае свободных зарядов, распределение которых мало меняется в пределах можно заменить на их средние (макроскопические) значения , так что из (13.8) с учетом (2.2) и (2.5) сразу вытекает (13.2). Однако в случае связанных зарядов их распределение существенно меняется уже в пределах одной поляризованной молекулы, так что подобную замену сделать нельзя и, следовательно,

Если обобщить соотношение (13.4), выражающее закон сохранения импульса, на случай электромагнитного поля в среде, т. е. положить

то, согласно (13.9), выражения для будут уже отличаться от (13.5). Чтобы найти соответствующие изменения, необходимо вычислить Рвяз, т. е. плотность сил, действующих в электромагнитном поле на электрические и магнитные дипольные моменты молекул. Но даже и в этом случае так же как и еще нельзя определить однозначно.

(см. скан)