§ 95. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ КАК СЛЕДСТВИЕ ВАРИАЦИОННОГО ПРИНЦИПА

Формула Адамара позволяет получить не только уравнения поля, но и явный вид всех сохраняющихся в силу этих уравнений величин. При этом выясняется, что каждый закон сохранения оказывается тесно связанным с инвариантностью действия относительно некоторого преобразования координат или полевых функций. Чтобы установить эту связь, рассмотрим различных бесконечно малых преобразований вида

где некоторые функции координат, — постоянные бесконечно малые параметры. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема Нетер. Если действие инвариантно относительно бесконечно малых преобразований (95.1), то существует сохраняющихся в силу уравнений поля величин

Рис. 95.1

не зависящих в случае островной системы от выбора пространственноподобной гиперповерхности

Доказательство теоремы основано на использовании формулы Адамара. Из инвариантности действия относительно преобразований (95.1) следует, что Поэтому при подстановке (95.1) в (94.17) находим

Для островной системы в случае 4-объема ограниченного двумя пространственноподобными гиперповерхностями и из (95.3) следует равенство

полностью доказывающее теорему.

Поскольку пространственноподобная гиперповерхность а в (95.2) совершенно произвольна, ее можно немного деформировать в окрестности некоторой точки (рис. 95.1) и записать равенство (95.4), выбрав стст,

Отсюда, пользуясь формулой (74.13), нетрудно вывести соответствующие дифференциальные законы сохранения:

В качестве иллюстрации теоремы Нетер рассмотрим преобразования сдвига и поворота в четырехмерном пространстве, предполагая, что действие инвариантно относительно этих преобразований. В случае бесконечно малого сдвига на постоянный вектор имеем

т. е.

Подстановка (95.6) в (95.5) приводит к дифференциальному закону сохранения

что соответствует интегральной сохраняющейся величине

В конце этого параграфа на примере электромагнитного поля мы убедимся, что 4-вектор (95.8) является 4-импульсом системы.

Рассмотрим теперь преобразование бесконечно малого четырехмерного поворота

где бесконечно малый «угол» поворота в плоскости Очевидно, что индекс в (95.1) соответствует в этом случае двойному индексу Таким образом, обычный угол трехмерного поворота, относительная скорость двух систем отсчета, задающая некоторое бесконечно малое преобразование Лоренца.

(см. скан)

С учетом антисимметрии представим наше преобразование координат и полей в виде

где — некоторая функция, определяемая тензорными свойствами полей Тогда соответствующий дифференциальный закон сохранения (95.5) имеет вид

где введены обозначения

Сохраняющаяся величина, очевидно, имеег вид

Физический смысл ее мы выясним на примере электромагнитного поля в конце параграфа.

Заметим теперь, что канонический тензор энергии— импульса вообще говоря, не является симметричным, т.е. Поэтому подстановка (95.12) в (95.11) с учетом (95.7) дает

Оказывается, что равенство (95.15) можно использовать для построения нового тензора

симметричного и удовлетворяющего дифференциальному закону сохранения

если Именно: оказывается справедливой следующая теорема.

Теорема Белинфанте. Тензор (95.16) удовлетворяет дифференциальному закону сохранения (95.17) и симметричен. если

Для доказательства убеждаемся, что — поскольку [см. (95.13)]. Поэтому (95.17) является следствием (95.7):

Далее, с помощью (95.15) тензор можно привести к виду

откуда очевидна его симметричность. Теорема доказана.

Из теоремы Белинфанте с учетом результата задачи 89.2 следует, что сохраняющийся 4-вектор может быть записан в виде

Покажем, что и также может быть выражено через тензор 0. Для этого образуем новый тензор

который вследствие (95.17) и свойства симметрии удовлетворяет дифференциальному закону сохранения

Подставляя (95.16) в (95.21), имеем

Но [см. (95.18)] поэтому

где

Благодаря антисимметрии тензора (95.24) можно использовать результат задачи 89.2 и с учетом (95.11) и (95.22) получить

Итак, с помощью симметричного тензора энергии—импульса можно вычислять сохраняющиеся величины и Чтобы выяснить их физический смысл, рассмотрим конкретный пример свободного электромагнитного поля Прежде всего на основании (94.19) и (94.13) вычислим

Так как то необходимо строить симметричный тензор 0. Замечая, что А является 4-вектором, найдем вариацию при преобразовании (95.9) по аналогии с

Сравнением (95.27) с (95.10) находим

Поэтому, согласно (95.13),

что позволяет найти тензор Белинфанте (95.18):

Теперь уже нетрудно с помощью (95.16) и уравнений поля вычислить симметричный тензор энергии — импульса 0:

очевидно, совпадающий с (89.8). Таким образом, 4-вектор (95.20) совпадает с 4-импульсом электромагнитного поля.

Рассмотрим сохраняющийся антисимметричный тензор — Для выяснения его физического смысла вычислим сначала его пространственные компоненты

Замечая, что где -плотность импульса электромагнитного поля, имеем

т. е. -вектор момента импульса электромагнитного поля.

Что касается то, вводя радиус-вектор центра масс электромагнитного поля

с учетом (95.20) получаем

Дифференцируя (95.35) по времени, находим

т. е. сохранение величин выражает не что иное, как закон равномерного поступательного движения центра масс электромагнитного поля.

Сохраняющийся антисимметричный тензор обычно называют релятивистским тензором момента импульса полевой системы, а соответствующий тензор третьего ранга -релятивистским тензором плотности момента импульса,

Возвращаясь к фундаментальной теореме Нетер, лежащей в основе вариационной формулировки законов сохранения, можно сказать, что сохранение 4-импульса является следствием инвариантности действия относительно 4-сдвигов, а сохранение релятивистского момента импульса следствием инвариантности действия относительно 4-поворотов, включающих в себя как пространственные повороты, так и собственные преобразования Лоренца.