§ 84. УРАВНЕНИЯ МИНКОВСКОГО

Уравнения динамики материальной точки, предложенные Минковским, внешне имеют ту же форму, что и уравнения Ньютона, но оперируют с четырехмерными величинами -координатами, 4-скоростями, 4-ускорениями и 4-силами), характеризующими движение частицы в псевдоэвклидовой геометрии Минковского. Уравнения Минковского имеют вид

Скалярная числовая величина в этих уравнениях характеризует инерционные свойства частицы и называется ее собственной массой. Роль времени в уравнениях Минковского играет инвариантное собственное время частицы, роль скорости — 4-скорость а роль силы — 4-вектор силы являющийся обобщением трехмерной ньютоновской силы

В предельном случае медленных движений, когда пространственные компоненты 4-скорости переходят в обычную трехмерную скорость и, а собственное время перестает отличаться от ньютоновского времени Поэтому если потребовать, чтобы пространственные компоненты 4-вектора силы также переходили в этом пределе в ньютоновскую силу то пространственные уравнения Минковского, очевидно, будут удовлетворять нужному принципу соответствия с уравнениями динамики Ньютона.

Остается лишь выяснить смысл временного уравнения Минковского Для этого воспользуемся тождеством или

с учетом которого из (84.1) выводим

Соотношение (84.3) позволяет выразить через

Таким образом, при совпадает с мощностью внешней силы, т. е.

Это обстоятельство наводит на мысль, что временное уравнение Минковского является ковариантным обобщением теоремы живых сил в механике Ньютона. Чтобы проверить эту догадку, запишем в предельном случае

Поскольку является постоянной величиной, временное уравнение Минковского в этом приближении принимает вид

т. е. в самом деле совпадает с теоремой живых сил.

Итак, мы пришли к выводу, что уравнения Минковского выражают закон изменения энергии и импульса частицы под влиянием внешних сил. В связи с этим введем понятие 4-импульса частицы

компоненты которого удобно представить в виде

где

Тогда уравнения Минковского записываются в следующей ковариантной форме:

Замечая, что и вводя обозначение

уравнения Минковского можно записать и в трехмерной форме:

Трактуя первое из уравнений (84.11) как теорему живых сил, мы видим, что энергией частицы в релятивистской механике следует назвать величину

а релятивистским импульсом — вектор

По аналогии с ньютоновским выражением для импульса величину называют инертной или динамической массой. В отличие от собственной массы частицы она переменна, т. е. зависит от скорости и частицы в соответствии с (84.8) и, кроме того, является не скаляром, а временной компонентой 4-вектора. Таким образом, в трехмерной интерпретации уравнения релятивистской динамики описывают движение частицы с переменной массой которая оказывается связанной с энергией частицы

соотношением (84.12). Последнее было впервые получено Эйнштейном и часто называется соотношением эквивалентности энергии и массы.

(см. скан)

В связи с соотношением эквивалентности Эйнштейна обратим внимание на важную особенность релятивистской энергии для неподвижной частицы она не обращается в нуль, как нерелятивистская кинетическая энергия а оказывается равной постоянной величине

называемой собственной энергией частицы. Если в нерелятивистской механике энергия материальной точки определяется из теоремы живых сил с точностью до аддитивной постоянной, то в релятивистской теории отбросить постоянную не нарушив тензорных свойств очевидно, нельзя. В самом деле, разность уже не является компонентой какого-либо 4-тензора, поскольку скаляр, а -временная составляющая 4-вектора.

Отметим, что, согласно определению -импульса свободной частицы его инвариантная длина связана с важной характеристикой частицы — ее собственной массой

(см. скан)