ГЛАВА 3. ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Предсказание электромагнитных волн является самым впечатляющим достижением электродинамики Максвелла. В этой главе изучается структура решений уравнений Максвелла, описывающих электромагнитное излучение, порождаемое самыми различными источниками: одиночным произвольно движущимся зарядом, электрическим и магнитным вибраторами Герца, линейной антенной. Исследуется обратная реакция электромагнитного излучения на источник и обсуждается проблема начальных условий в задачах электродинамики. Фундаментальную роль при этом играет физический принцип причинности, выделяющий направление времени.

§ 38. ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ ИЛИ ВАКУУМЕ

Перейдем к изучению наиболее общего случая изменяющихся во времени электромагнитных полей, подчиняющихся системе уравнений Максвелла (10.1) в однородной среде с постоянными (или в вакууме, если Соответствующая система уравнений имеет вид

Сначала рассмотрим электромагнитное поле в той области пространства, где отсутствуют свободные токи и заряды. Тогда выполняются уравнения:

С учетом постоянства перепишем эти уравнения в таком виде:

Дифференцируя первое из уравнений (38.2) по имеем

или с учетом второго уравнения

Так как то и поэтому

где

Таким образом, мы получили волновое уравнение, описывающее распространение волн со скоростью Нетрудно убедиться, что вектор подчиняется такому же уравнению

Итак, можно сказать, что любая компонента векторов подчиняется общему волновому уравнению

Решение этого уравнения записывается наиболее просто в случае, когда зависит лишь от х и Тогда уравнение (38.6) сводится к следующему:

Замечая, что

сделаем замену переменных в соответствии с которой

и (38.7) принимает вид

Отсюда следует, что общим решением волнового уравнения (38.7) является функция

где произвольные функции. Полученное решение представляет собой суперпозицию двух возмущений, распространяющихся соответственно вправо и влево со скоростью

Для электромагнитных волн в вакууме уравнение (38.6) принимает вид уравнения Даламбера

где введен оператор Даламбера

Изучим свойства решений уравнения Даламбера в трехмерном случае в некоторой области Прежде всего докажем, что всякое решение уравнения Даламбера однозначно определяется заданием в начальный момент времени двух функций а также заданием на границе области для О либо функции либо В самом деле, предположим, что это не так и что найдутся два различных решения уравнения Даламбера и удовлетворяющие одним и тем же начальным и граничным условиям. Тогда их разность также является решением уравнения Даламбера с нулевыми начальными и граничными условиями. В то же время интеграл

сохраняется во времени, поскольку

так как на поверхности для любого момента времени Однако в момент т. е. что возможно только при откуда и следует единственность решения.

Итак, общее решение уравнения Даламбера содержит две произвольные функции, соответствующие заданию в начальный момент времени Однако нахождение этого общего решения упрощается, если заметить, что всякому решению можно сопоставить независимое от него решение Таким образом, достаточно найти решение, содержащее лишь одну произвольную функцию.

Если разыскиваемое решение уравнения Даламбера сферически-симметрично, то (38.9) принимает вид

При этом для функции получается уравнение типа (38.7). Пользуясь общим решением (38.8) этого уравнения, убеждаемся, что любое сферически-симметричное решение уравнения Даламбера имеет структуру

где произвольные функции. Следует только отметить, что, за исключением выбора функция (38.10) имеет в точке особенность и поэтому удовлетворяет уравнению Даламбера всюду, кроме этой точки.

Если же разыскиваемое решение уравнения Даламбера не является сферически-симметричным, то для его нахождения приходится пользоваться специальными методами математической физики. Ознакомимся с одним из них, предложенным Пуассоном и получившим название метода сферических средних. Делая подстановку приведем уравнение Даламбера к виду

Сравнение (38.11) с показывает, что можно считать сферическим средним от некоторой функции по сфере радиуса т. е., согласно

Второе независимое решение получается дифференцированием (38.12) по таким образом, общее решение уравнения Даламбера имеет вид

(см. скан)

Особую роль в теории электромагнитного поля играет частное решение уравнения Даламбера, обозначаемое Оно является сферически-симметричным и удовлетворяет следующим начальным условиям:

Пользуясь представлением -функции в сферических координатах (см. задачу ) с помощью (38.14) и (38.10) находим, что для

откуда Тогда

(см. скан)