§ 34. СТАЦИОНАРНЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

До сих пор мы считали токи проводимости заданными, не останавливаясь на причинах того, как практически можно поддерживать их неизменными во времени. Однако ясно, что в проводящей среде, в которой, согласно закону Джоуля — Ленца (14.3), происходит постоянное выделение теплоты, стационарный ток может поддерживаться лишь сторонними электродвижущими силами. Вводя напряженность Естор поля этих сторонних сил, запишем основные уравнения, определяющие плотность тока и напряженность электрического поля в среде, характеризуемой электропроводимостью и диэлектрической проницаемостью в

Как и в электростатике, решение уравнений (34.1) сводится к отысканию потенциала поскольку уравнение удовлетворяется подстановкой В итоге система (34.1) сводится к одному уравнению

тогда как уравнение используется для определения плотности свободного заряда уже после того, как найдено электрическое поле Ясно, что любая задача магнитостатики, сводящаяся к решению уравнения (34.2), аналогична соответствующей электростатической задаче, ибо получается из последней заменами:

Как уже отмечалось, для обычных проводников при не очень большой напряженности поля электропроводимость а можно считать не зависящей от В простейшем частном случае однородных проводников а является постоянной в каждой точке

Рис. 34.1

Рис. 34.2

заданного проводника, и тогда уравнение (34.2) сводится к следующему:

т. е. к уравнению Пуассона с плотностью «сторонних» зарядов

Весьма распространен класс сторонних сил, для которых в отдельных областях можно ввести сторонний потенциал, т. е. положить

Примером таких сил могут служить диффузионные силы термоэлектрические силы Естор и др. Используя (34.6), вместо (34.4) в соответствующих областях найдем

Очевидно, что во всем пространстве соотношение (34.6) не может выполняться, поскольку циркуляция Естор по любому замкнутому контуру, т. е. сторонняя оказалась бы тогда равной нулю. В качестве примера возьмем термоэлектрические силы Пусть замкнутая цепь С образована двумя кусками разных металлов 1 и 2, спаи которых нагреты до температур и соответственно (рис. 34.1). Характеризуя каждый металл своей постоянной (3, для сторонней э. д. с. находим выражение

В большинстве практических задач приходится определять потенциал и плотность тока в системе однородных проводников с электропроводимостями соприкасающихся по некоторым границам раздела (рис. 34.2). При этом сторонние э. д. с.

появляются лишь на границах раздела, исчезая в толще проводников. Поэтому внутри проводников и граничащих с ними однородных диэлектриков выполняется уравнение Лапласа При сшивании решений в разных областях необходимо использовать граничные условия, вытекающие из (34.1). Так, уравнение приводит к граничному условию

которое (см. § 22) эквивалентно условию непрерывности потенциала или условию Уравнение приводит к граничному условию

т. е. к непрерывности нормальной составляющей тока.

(см. скан)

Наконец, третье условие получается из уравнения

интегрированием вдоль линии, перпендикулярной поверхности раздела (рис. 34.3). С учетом (34.9) находим

Устремляя точки 1 и 2 друг к другу и вводя сопротивление

поверхности раздела по отношению к протекающему нормально ей току перепишем (34.11) в виде

где введена сторонняя э. д. с.

При этом предполагается, что постоянна на поверхности Обычно это условие хорошо выполняется для квазилинейных проводников, в сечении которых меняется весьма незначительно.

Рис. 34.3

Рис. 34.4

Суммируя соотношение (34.13) для ряда последовательных участков некоторой квазилинейной цепи, получаем второй закон Кирхгофа для участка цепи:

В частном случае замкнутой цепи, полагая находим

Если цепь изолирована и имеет полное сопротивление то получаем закон Ома

Наконец, если проинтегрировать уравнение по некоторой малой области V, в которой сходятся несколько квазилинейных проводников (рис. 34.4), то с помощью теоремы Гаусса — Остроградского найдем

где - граница области Соотношение (34.17) называется первым законом Кирхгофа и, очевидно, выражает закон сохранения электрического заряда.

Полученные выше граничные условия имеют разный вид на поверхностях раздела проводник — проводник и проводник — диэлектрик. В первом случае уравнения (34.8) и (34.10) при дополнительном предположении

означающем, что сторонние силы действуют только на границе, приводят к скачку касательной составляющей плотности тока на границе:

Из условия (34.9) находим

что позволяет [см. (22.5)] выразить поверхностную плотность заряда на границе через нормальную плотность тока:

В случае границы проводник — диэлектрик откуда с учетом (22.6) находим

В то же время из условия (34.8) следует, что