§ 86. ЛАГРАНЖЕВА ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯДА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

Полученные выше релятивистские уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле, так же как и соответствующие нерелятивистские уравнения, могут быть выведены из принципа наименьшего действия, т. е. записаны в лагранжевой форме. Как известно из классической механики, для голономных систем, подверженных действию консервативных сил, можно построить главную функцию Гамильтона, или функцию действия,

выражаемую через лагранжиан системы, являющийся некоторой функцией обобщенных координат и скоростей В частности, для точечной частицы массы движущейся в силовом поле с потенциальной функцией лагранжиан равен

При этом основные уравнения механики имеют вид уравнений Лагранжа

которые могут быть получены из вариационного принципа

при дополнительном условии

В релятивистском случае вариационный принцип (86.4) должен быть представлен в лоренц-ковариантной форме. Для этого необходимо, чтобы действие было релятивистским скаляром. Если рассматривается движение частицы во внешнем поле, то, как известно из классической механики, элементарное действие можно записать в виде

где обобщенный импульс частицы, -гамильтониан, можно представить в форме скалярного произведения:

если ввести 4-вектор В частности, для свободной частицы собственной массы имеем поэтому

Таким образом, для свободной релятивистской частицы

В нерелятивистском пределе лагранжиан сводится к

т. е., с точностью до аддитивной постоянной, к кинетической энергии частицы.

Чтобы установить структуру обобщенного 4-импульса для заряженной частицы в электромагнитном поле, заметим, что лагранжиан отвечающий нерелятивистскому движению заряда в электростатическом поле с потенциалом содержит слагаемое — Таким образом, обобщенный 4-импульс должен быть линейным по электромагнитным потенциалам. Единственным таким 4-вектором будет лишь комбинация вида

Следовательно, — появится в лагранжиане при Итак, в присутствии электромагнитного поля

что приводит к функции Лагранжа

и функции действия

(см. скан)

В качестве поучительного примера использования релятивистских уравнений Лагранжа рассмотрим классическую задачу о бетатроне, т. е. задачу о движении заряженной частицы в переменном аксиально-симметричном магнитном поле В. Пусть в цилиндрических координатах компоненты магнитной индукции В имеют вид

Введем вектор-потенциал А, положив Тогда

где магнитный поток сквозь окружность радиуса средняя индукция магнитного поля внутри этой окружности.

Запишем теперь лагранжиан (86.9) в цилиндрических координатах:

С его помощью получаются следующие уравнения Лагранжа:

где точкой обозначена полная производная по времени и введена инертная масса

Выясним теперь возможность существования стационарной круговой орбиты В этом случае уравнения (86.12) будут удовлетворены, если т. е. и

Отсюда с учетом (86.11) находим необходимое условие существования стационарной круговой орбиты, получившее название бетатронного условия:

Оно означает, что индукция магнитного поля на стационарной круговой орбите меняется в два раза медленнее, чем средняя

индукция внутри орбиты. Если в начальный момент времени то из (86.14) получается более простое условие Видероэ:

Найдем закон изменения энергии частицы с изменением индукции В магнитного поля. Для этого достаточно воспользоваться теоремой живых сил

и исключить а с помощью (86.13). Тогда

что соответствует следующему закону изменения энергии с ростом индукции магнитного поля: