§ 3. ЗАКОН КУЛОНА И ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

Рассмотрим совокупность точечных зарядов помещенных в точках По закону Кулона, каждый из зарядов создает в окружающем пространстве электрическое поле

где Согласно принципу суперпозиции, полная напряженность поля равна

Для перехода к макроскопическому описанию разобьем все пространство на ячейки с центрами тк и перепишем (3.2) в виде

С другой стороны [см. (2.1)], и поэтому, вводя, согласно (2.2), макроскопическую плотность заряда найдем

Заменив суммирование по ячейкам объемным интегралом, вместо (3.2) получим

Выражения (3.2) и (3.3) являются исходными для установления одного из важнейших уравнений электродинамики, которому подчиняется электрическое поле Рассматривая как объективную реальность, мы как бы забываем о силовом происхождении о лежащем в основе (3.2) законе Кулона.

Рис. 3.1

Принимая полевую гипотезу, мы предполагаем объективное существование в окружающем пространстве физической величины независимо от того, помещается ли в точку пробный заряд или нет.

Подсчитаем поток поля сквозь замкнутую поверхность (рис. 3.1):

Вводя телесный угол

под которым виден элемент поверхности из точки заключаем, что

где - объем, заключенный внутри Поэтому поток полного поля

где заключенный внутри поверхности заряд.

Используя макроскопическое представление о распределенном заряде, получаем

(теорема Гаусса в интегральной форме).

Применяя теорему Гаусса — Остроградского

и учитывая, что объем V произволен, приходим к дифференциальной форме теоремы Гаусса:

Будем считать это уравнение справедливым для электромагнитного поля независимо от границ применимости закона Кулона,

т. е. не только для статического, но и для зависящего от времени поля

Выясним теперь, не противоречит ли (3.5) уравнению (3.3). Решение этой задачи, как и многих других, значительно облегчается, если использовать введенную английским физиком П. А. М. Дираком -функцию

Это обобщенная функция, т. е. нельзя говорить о каких-либо ее значениях, определены лишь интегралы от ее произведения с какой-либо достаточно «хорошей» (например, непрерывной) функцией При этом для любого

Трехмерная -функция определяется с помощью аналогичного равенства

где

В связи с анализом свойств -функции здесь уместно привести определение -функции, данное Эйлером. В своей классической работе «Метод нахождения кривых линий посвященной решению изопериметрической задачи, он приходит к следующей формуле для вариации функционала в окрестности некоторой точки

где «треугольная» функция, график которой имеет вид равнобедренного треугольника с основанием и высотой восставленной в точке

Полагая в пределе Эйлер из условия выводит свое знаменитое вариационное уравнение Нетрудно видеть, что при этом «треугольная» функция переходит в -функцию, т. е.

(см. скан)

(см. скан)