Рис. 3.1
Принимая полевую гипотезу, мы предполагаем объективное существование в окружающем пространстве физической величины
независимо от того, помещается ли в точку
пробный заряд или нет.
Подсчитаем поток поля
сквозь замкнутую поверхность (рис. 3.1):
Вводя телесный угол
под которым виден элемент поверхности
из точки
заключаем, что
где
- объем, заключенный внутри
Поэтому поток полного поля
где
заключенный внутри поверхности
заряд.
Используя макроскопическое представление о распределенном заряде, получаем
(теорема Гаусса в интегральной форме).
Применяя теорему Гаусса — Остроградского
и учитывая, что объем V произволен, приходим к дифференциальной форме теоремы Гаусса:
Будем считать это уравнение справедливым для электромагнитного поля независимо от границ применимости закона Кулона,
т. е. не только для статического, но и для зависящего от времени поля
Выясним теперь, не противоречит ли (3.5) уравнению (3.3). Решение этой задачи, как и многих других, значительно облегчается, если использовать введенную английским физиком П. А. М. Дираком
-функцию
Это обобщенная функция, т. е. нельзя говорить о каких-либо ее значениях, определены лишь интегралы от ее произведения с какой-либо достаточно «хорошей» (например, непрерывной) функцией
При этом для любого
Трехмерная
-функция определяется с помощью аналогичного равенства
где
В связи с анализом свойств
-функции здесь уместно привести определение
-функции, данное
Эйлером. В своей классической работе «Метод нахождения кривых линий
посвященной решению изопериметрической задачи, он приходит к следующей формуле для вариации функционала
в окрестности некоторой точки
где
«треугольная» функция, график которой имеет вид равнобедренного треугольника с основанием
и высотой
восставленной в точке
Полагая в пределе
Эйлер из условия
выводит свое знаменитое вариационное уравнение
Нетрудно видеть, что при этом «треугольная» функция переходит в
-функцию, т. е.
(см. скан)