§ 28. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ, СОЗДАВАЕМОЕ ЗАДАННЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ТОКОВ. ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ

Перейдем к рассмотрению магнитостатических задач. В этом случае исходными уравнениями являются

С их помощью можно определить индукцию В магнитного поля, возникающего в магнетиках при наличии:

1) токов с заданной плотностью

2) постоянных магнитов;

3) внешнего магнитного поля с напряженностью

4) сверхпроводников (с заданными полными токами). Найдем сначала индукцию магнитного поля, создаваемого заданными токами в вакууме, т. е. решим систему уравнений:

Плотность тока согласно первому уравнению (28.1), подчиняется стационарному закону сохранения:

Чтобы удовлетворить второму из уравнений (28.1), воспользуемся тождеством и положим

введя векторный потенциал А.

Подставляя (28.3) в первое из уравнений (28.1), имеем

или с учетом соотношения

Заметим, что из уравнения (28.3) при заданной индукции В магнитного поля вектор-потенциал А определяется неоднозначно. В самом деле, согласно тождеству вместо А всегда можно взять другой вектор А, отличающийся на градиент произвольного скаляра

Но последний всегда можно выбрать так, чтобы Для этого достаточно подчинить уравнению

Таким образом, всегда можно положить и находить вектор-потенциал А как решение системы уравнений:

Замечая, что в декартовых координатах любая из компонент вектора А удовлетворяет уравнению типа Пуассона, можно по аналогии с (17.4) записать решение уравнений (28.7) для всего пространства в виде

где При этом нетрудно убедиться, что (28.8) удовлетворяет условию В самом деле, переходя в (28.8) к новой переменной интегрирования имеем

что действительно обращается в нуль [см. (28.2)].

Отметим, что к решению (28.8) можно добавить вектор удовлетворяющий уравнению Лапласа и условию Однако если система токов ограничена и физически приемлемыми считаются только решения, исчезающие на бесконечности, то ясно, что Это следует из того, что является векторной гармонической функцией и по принципу максимума может удовлетворять граничному условию только при

Применяя к (28.8) операцию ротора, находим индукцию магнитного поля:

откуда следует закон Био - Савара — Лапласа:

В итоге доказана эквивалентность (28.1) и (28.9). Для однородного магнетика в (28.9) вместо В нужно подставить

(см. скан)

Перейдем теперь к задаче о нахождении индукции В в неоднородном магнетике, характеризующемся магнитной проницаемостью В этом случае необходимо использовать уравнение

подставляя в которое (28.3) находим

Допустим, что требуется найти индукцию В в некоторой области V, ограниченной замкнутой поверхностью При этом можно выделить три типа граничных задач:

1) на поверхности задан вектор где внешняя нормаль к

2) на поверхности задан вектор

3) на части поверхности задан вектор а на другой ее части — вектор

Покажем, что во всех этих задачах магнитное поле определяется однозначно, а векторный потенциал — с точностью до градиентного преобразования.

Предположив противное, примем, что существует два разных решения Тогда их разность согласно (28.11) и будет удовлетворять уравнению

Интегрируя (28.12) по области V и применяя теорему Гаусса — Остроградского, находим

Очевидно, что поверхностный интеграл в (28.13) исчезает с учетом наложенных граничных условий, так как во всех случаях либо либо обращаются в нуль на поверхности Но тогда из (28.13) вытекает, что Это и доказывает теорему единственности.

Наконец, остановимся на граничных условиях (12.3) и (12.6), которые должны накладываться в тех случаях, когда магнитная проницаемость испытывает разрыв на некоторой поверхности внутри области Прежде всего необходимо наложить условие непрерывности касательной составляющей вектора-потенциала А на поверхности

Это делается для того, чтобы индукция В была конечной. В самом деле, если принять, что А может иметь скачок на то, согласно (21.3), индукция на имеет сингулярную часть

— уравнение поверхности Таким образом, индукция В принимает бесконечные значения в точках поверхности что физически недопустимо. Если же выполнено условие (28.14), то Всинг так как

(см. скан)

Таким образом, с учетом (12.6) на границе раздела двух магнетиков должны выполняться следующие условия:

где плотность поверхностных токов проводимости на границе раздела.