§ 30. ПОЛЕ ПОСТОЯННЫХ МАГНИТОВ

В постоянном магните отсутствует ток проводимости, однако в каждой его точке существуют намагниченность и обусловленный ею ток намагничения с плотностью Поэтому вектор-потенциал, создаваемый этим током, может быть определен как

Однако использование этой формулы представляет значительные неудобства, вызванные необходимостью учета поверхностных токов намагничения, возникающих на границах раздела двух магнетиков. В связи с этим (см. § 21) преобразуем формулу (30.1), воспользовавшись тождеством

С учетом соотношения (21.3) можно обосновать применимость в данном случае теоремы Остроградского по которой

поскольку вне нетика Поэтому, интегрируя тождество (30.2) по объему магнетика V и используя (30.3), имеем

что совпадает в соответствии с (29.9) с векторным потенциалом распределенного магнитного момента с плотностью

Формулу (30.4) иногда записывают и в иной форме, полагая

где введен вспомогательный вектор

называемый магнитным вектором Герца. Согласно (30.6), вектор очевидно, удовлетворяет уравнению

с учетом которого магнитная индукция может быть представлена в виде

Отсюда следует, что напряженность магнитного поля равна

Рис. 30.1

Рис. 30.2

С другой стороны, для того чтобы выполнялось уравнение справедливое при отсутствии токов проводимости, можно ввести скалярный магнитный потенциал положив

Сравнение (30.10) с (30.9) показывает, что

т. е. знание магнитного вектора Герца позволяет вычислить как векторный, так и скалярный потенциалы магнитного поля.

В качестве иллюстрации отмеченных выше особенностей поля постоянных магнитов рассмотрим конкретный случай цилиндрического магнита, однородно намагниченного вдоль оси. Так как намагниченность внутри магнита постоянна, а вне его исчезает, то ток намагничения с плотностью течет только по поверхности. Плотность поверхностного тока намагничения находим так же, как в задаче 21.1, используя уравнение

Таким образом, цилиндрический магнит эквивалентен соленоиду с током на 1 см (рис. 30.1).

В то же время (см. § 29) поле линейных токов соленоида совпадает с потенциальным полем магнитных листков, если точка наблюдения не попадает на их поверхность. Следовательно, для расчета индукции В вне магнита можно заменить его стопкой магнитных листков. Вследствие постоянства внутренние магнитные заряды компенсируют друг друга и вся стопка оказывается эквивалентной поверхностным магнитным зарядам, расположенным на торцах цилиндра (рис. 30.2). При этом плотность связанных магнитных зарядов может быть введена по аналогии с (7.1) и (21.14):

свободных же магнитных зарядов не существует, так как

На практике расчет поля постоянных магнитов представляет значительные трудности, поскольку зависимость зачастую описывается сложной нелинейной функцией, значения которой к тому же определяются способом достижения заданного поля (гистерезис). Вот почему иногда бывает полезным идеализированное приближение, когда полагают

где известная функция, задающая постоянную (остаточную) намагниченность образца. Очевидно, что вектор представляет собой индуцированную намагниченность. Если воспользоваться методом скалярного магнитного потенциала, положив то уравнение дает

Таким образом, задача оказывается аналогичной соответствующей задаче электростатики. При этом граничные условия на поверхности раздела двух магнетиков имеют вид

(см. скан)

Нетрудно видеть, что задачи на определение индукции магнитного поля в магнетиках при наличии однородного внешнего поля аналогичны соответствующим задачам электростатики и их решение поэтому достигается заменой в известных решениях электростатических задач.