§ 14. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Выясним теперь, как формулируется в электродинамике один из важнейших физических законов — закон сохранения энергии, и покажем, что электромагнитному полю, как и всякому другому материальному объекту, можно приписать энергию.

Рассмотрим электромагнитное поле в системе, состоящей из неподвижных проводников, диэлектриков и магнетиков, т. е. в среде, характеризуемой определенным образом распределенными и не зависящими от времени или же соответствующими тензорами в анизотропной среде. Под действием силы (13.3) заряды в проводниках перемещаются и за 1 с поле совершает над каждым из них работу Плотность мощности, затрачиваемой на перемещение свободных зарядов, равна

т. е. работа совершается только электрическим полем.

(см. скан)

В стационарной системе по закону сохранения энергии совершаемая полем работа будет рассеиваться в виде теплоты, т. е. выражение (14.1) должно представлять собой плотность выделяемой тепловой мощности Так как рассматриваются свободные заряды, то (см. § 13) можно заменить в на его макроскопическое значение Тогда с учетом (2.5) найдем, что

Если же проводники подчиняются закону Ома, то

Это дифференциальная форма закона Джоуля — Ленца, определяющего плотность тепловой мощности, выделяемой в проводящей среде.

Общее количество теплоты, выделяемое во всем объеме проводников за 1 с, равно

Преобразуем теперь используя уравнения Максвелла (10.1):

Учитывая, что и используя

уравнения второй группы (10.1), получаем

Если выполняется простейшая линейная связь где не зависят от времени (неподвижная среда), то (14.5) преобразуется к виду

Подставляя (14.6) в (14.4), с учетом независимости поверхности от времени находим

Последнее соотношение позволяет раскрыть физический смысл В самом деле, так как левая часть (14.8) представляет собой работу за одну секунду, совершаемую электромагнитным полем в объеме V над свободными зарядами, то, очевидно, правая часть (14.8) в соответствии с общим законом сохранения энергии должна быть связана с убылью энергии электромагнитного поля в объеме V или с притоком ее к этому объему. В частности, если рассмотреть стационарный процесс, когда то энергия электромагнитного поля в объеме V не изменяется и джоулевы потери компенсируются притоком электромагнитной энергии извне. Таким образом, мы убеждаемся, что вектор имеет смысл плотности потока электромагнитной энергии в среде.

В другом частном случае, когда система не излучает и выделение джоулева тепла связано с убылью энергии электромагнитного поля в объеме Таким образом, может быть интерпретирована как плотность энергии электромагнитного поля в среде.

Теорема (14.6) впервые была доказана английским физиком Дж. Пойнтингом в 1884 г. и называется теоремой Пойнтинга, вектором Пойнтинга. Следует отметить, что теорема Пойнтинга является частным случаем более общей теоремы,

доказанной русским ученым Н. А. Умовым в 1874 г., т. е. раньше Пойнтинга, для любого вида энергии, распределенной в пространстве с некоторой плотностью . Умов впервые ввел в науку понятие плотности потока энергии В том случае, когда теплота не выделяется,

т. е. энергия ведет себя подобно распределенной субстанции, способной вытекать и втекать в заданный объем сквозь окружающую его поверхность. Введенный Умовым вектор плотности потока энергии получил название вектора Умова. Поэтому вектор Пойнтинга для плотности потока электромагнитной энергии часто называют еще и вектором Умова — Пойнтинга.

(см. скан)