§ 83. КОВАРИАНТНАЯ ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В СРЕДЕ

При наличии среды, очевидно, изменится лишь первая группа уравнений Максвелла, содержащая плотности связанных зарядов и токов. Поэтому нам следует записать в ковариантной форме только уравнения связи между поляризованностью и намагниченностью с одной стороны, и плотностями связанных зарядов рсвяз и токов с другой. Как известно, эти уравнения имеют вид

Вводя 4 - вектор плотности связанного тока и антисимметричный тензор поляризации — намагничения заданный матрицей

уравнения (83.1) можно переписать в явно ковариантной форме:

Задача 83.1. Показать, что диэлектрик с поляризованностью движущийся со скоростью приобретает намагниченность

Так как электромагнитное поле в среде порождается плотностью полного 4-тока то в соответствии с (79.2) имеем

или с учетом (83.3)

где введен новый антисимметричный тензор

Соотношение (83.6) представляет собой ковариантную запись известных трехмерных уравнений:

Поэтому структура тензора задается следующей антисимметричной матрицей

Предположим теперь, что нам известны трехмерные тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей входящие в феноменологические уравнения состояния неподвижного вещества (система отсчета X):

Очевидно, что этими уравнениями, записанными предварительно в ковариантной форме, и следует дополнить системы уравнений (83.5) и (79.7). Поскольку уравнения (83.8) задают линейную связь двух 4-тензоров их ковариантная запись должна иметь вид

Введенный здесь 4-тензор проницаемостей очевидно, антисимметричен по верхним и нижним индексам. Чтобы выписать его компоненты в собственной системе вещества X, воспользуемся соотношениями, вытекающими из структуры тензоров

С помощью (83.10) уравнения (83.8) можно представить в виде

Сравнивая (83.11) с (83.9), находим следующую структуру тензора в собственной системе среды:

В частном случае изотропной среды, когда

Переходя к системе отсчета относительно которой среда движется с некоторой скоростью и, с помощью (83.12) или (83.13) всегда можно восстановить компоненты тензора в системе и записать, таким образом, уравнения Максвелла в среде в ковариантной форме:

В случае изотропной среды, как было впервые показано Минковским, уравнения связи (83.9) могут быть значительно упрощены. В самом деле, используя 4-скорость среды, введем 4-векторы

обладающие тем свойством, что в собственной системе среды они сводятся соответственно к между которыми существует связь

Однако известно, что если два 4-вектора параллельны в некоторой системе отсчета, то они параллельны и в любой другой. Поэтому, вводя скалярные величины определяемые соответственно как диэлектрическая и магнитная проницаемости среды в ее собственной системе отсчета, уравнения связи (83.9) можно заменить следующей парой уравнений:

или

Уравнения (83.15) известны как уравнения Минковского для движущихся сред. В трехмерной форме они принимают такой вид:

(см. скан)