§ 29. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ОГРАНИЧЕННОЙ СИСТЕМЫ ТОКОВ (МАГНИТНОЕ МУЛЬТИПОЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ)

Предположим, что токи с плотностью сосредоточены в некоторой области пространства которую можно заключить в сферу конечного радиуса а. Подставив в общее выражение для вектора-потенциала

разложение (19.4), найдем для

где введен тензор -польного магнитного момента

каждая компонента которого является вектором.

Вычислим низшие мультипольные моменты и которыми на основании оценки типа (19.18) можно ограничиться при определении А, если Для этого удобно воспользоваться соотношением (28.2) и условием ограниченности системы токов, согласно которому при Умножим (28.2) на произвольную функцию и проинтегрируем по области V, применив теорему Гаусса — Остроградского:

Но поверхностный интеграл в (29.4) исчезает, так как при В результате получается тождество

Подставляя в (29.5), находим

Иначе говоря,

Выбирая в имеем

С помощью (29.7) первый член мультипольного разложения (29.2) преобразуется к виду

или, если ввести магнитный момент системы токов

Используя тождество (справедливое при

доказанное при решении задачи 1.5, индукцию, соответствующую векторному потенциалу (29.9), можно записать по аналогии с электростатикой:

т. е. введя магнитный скалярный потенциал отвечающий магнитному диполю с моментом

Нетрудно видеть, что, повторяя процедуру построения электрических мультиполей и взяв за исходное векторный потенциал (29.9) магнитного диполя, можно прийти к магнитостатическому аналогу формулы (19.9):

В качестве конкретного случая системы оганиченных токов рассмотрим замкнутый линейный ток силой текущий по некоторому контуру С. Так как для линейного тока

и сила тока постоянна в любом сечении контура С в соответствии с (28.2), то формула (29.1) в этом случае примет вид

Применяя теорему Стокса приводим (29.14) к интегралу по правоориентированной поверхности натянутой на контур С:

Очевидно, что (29.15) можно представить как вектор-потенциал двойного магнитного слоя (магнитного листка):

где элементарный магнитный момент равен

что соответствует мощности двойного магнитного слоя

Нетрудно видеть, что если ввести скалярный магнитный потенциал отвечающий (29.15), то он будет иметь такой же вид, как и для двойного электрического слоя:

где О — телесный угол, под которым виден контур С из точки наблюдения (см. задачу 1.5). Очевидно, что потенциал не является однозначной функцией точки — при обходе вокруг контура с током он испытывает приращение

Но если в случае двойного электрического слоя скачок потенциала на его поверхности обусловлен тем, что внутри бесконечно тонкого двойного слоя напряженность электрического поля оказывается бесконечно большой [см. (20.6)], то отмеченная неоднозначность магнитного скалярного потенциала обусловлена двусвязностью области определения функции (все пространство, за исключением контура с током). Эту область можно сделать

односвязной, проведя разрез по некоторой поверхности натянутой на контур, и считая, что на ней потенциал испытывает скачок (29.19). Но так как поверхность можно произвольно сместить так, чтобы точка наблюдения не попала на нее, то всегда оказывается справедливым преобразование (29.15) и представление скалярного магнитного потенциала в виде (29.18).

Таким образом, мы пришли к выводу, что магнитное поле замкнутого линейного тока I тождественно полю магнитного листка мощностью натянутого на контур тока (теорема эквивалентности Ампера). В пользу этого утверждения говорит и результат задачи 8.1, согласно которому магнитные моменты замкнутого линейного контура с током и магнитного листка оказываются одинаковыми и имеют вид

(см. скан)