Глава 2. ОПТИКА ГАУССА

§ 10. Вывод меридионального инварианта для сферической преломляющей поверхности

Рассмотрим картину прохождения узкого пучка лучей, лежащего в меридиональной плоскости, через сферическую преломляющую поверхность.

Обратимся к рис. 2.1, на котором представлена часть сферической преломляющей поверхности радиусом с центром в точке С, разделяющей две среды с показателями преломления

Предположим, что из некоторой точки А, расположенной в первой среде, исходят два луча, составляющие между собой некоторый малый угол и образующие в точках преломляющей поверхности углы с ее нормалями.

Расстояние от точки В до точки А обозначим через Эти же два луча после преломления составят с нормалями углы образуя друг с другом угол Точку пересечения этих двух лучей обозначим через А, а расстояние от точки В до точки А — через . В соответствии с законом преломления можно написать

Дифференцируя эту формулу, получим

Угол между нормалями обозначим через Пользуясь этим углом, определим расстояние между точками

Рис. 2.1. К выводу меридионального инварианта

Соединив точки образуем два треугольника с внешними углами равными суммам двух внутренних углов, которые обозначим через Тогда можно написать:

Составляя разности формул (2.4), устанавливаем зависимость между дифференциалами углов:

Аналогичным образом после преломления можно установить зависимость

Углы можно связать с отрезками и отрезком

Пользуясь рисунком, получаем

и аналогично

Используя формулы (2.2) и (2.5)-(2.8), находим

Разделив формулу (2.9) на получаем меридиональный инвариант Гульстранда-Юнга

из которого можно получить формулу