§ 46. Взаимная компенсация комы второго и четвертого порядков

Взаимная компенсация комы разных порядков могла бы быть осуществлена в различных случаях. Поскольку для комы второго порядка имеется два независимых коэффициента, а для комы четвертого порядка их будет уже три, число возможных сочетаний получается достаточно большим; поэтому мы будем вынуждены ограничиться рассмотрением лишь одного случая компенсации, на котором можно проследить природу взаимной компенсации комы.

В качестве такого случая рассмотрим сочетание простой комы второго порядка, когда оба коэффициента и равны друг другу, с комой четвертого порядка, когда равны друг другу два первых коэффициента

Тогда общее выражение для волновой аберрации примет вид

Это выражение может быть представлено в полярных координатах:

Из формулы (9.59) следует, что при выбранных коэффициентах вдоль сагиттального волнового фронта волновая аберрация будет равна нулю; при этом волновая аберрация вдоль меридионального волнового фронта представится формулой

Приравнивая уравнение (9.61) нулю, находим следующие корни:

Первый из этих корней является тройным; другие два корня могут быть действительными лишь при различных знаках у коэффициентов и

Рассматривая двучлен, заключенный в скобки в формуле (9.60), и задаваясь в нем любыми значениями апертурного угла всегда можно подобрать такое значение угла которое обратит этот двучлен в нуль.

Отсюда можно сделать вывод, что кривые нулевых волновых аберраций, проходящие через два корня уравнения (9.61), будут простираться вправо и влево от оси ординат, уходя в бесконечность и приближаясь к оси абсцисс как к асимптоте. Знаки волновой аберрации всегда будут изменяться на обратные при переходе через кривые нулевых волновых аберраций.

Особый интерес будет представлять фигура рассеяния для поперечных аберраций.

Дифференцируя выражение для болновой аберрации в частных производных, получаем:

или, группируя отдельно члены, содержащие только меридиональные апертурные углы и сагиттальные углы

Задаваясь определенным значением меридионального апертурного угла всегда можно подобрать такое отношение коэффициентов и когда любое из трех выражений в скобках формул (9.64) обратится в нуль. Однако при этом выражения в двух других скобках уже не смогут стать равными нулю.

Вместе с тем, остановившись на каком-либо одном из соотношений между этими коэффициентами и изменяя величину апертурного угла всегда можно получить равными нулю и выражения в двух других скобках, но, конечно, не одновременно.

В частном случае, полагая равным нулю выражение при квадрате меридионального апертурного угла получаем отношение коэффициентов и

Тогда величины поперечных аберраций примут вид:

Заметим, что формулы (9.66) еще не позволяют построить фигуру рассеяния хотя бы даже для обхода по одному контуру, так как при таком обходе будет происходить изменение величины меридионального апертурного угла в зависимости от угла обхода у. Поэтому выбор коэффициентов следует осуществить при значении т. е. только для случая меридиональной плоскости. Тогда формулы (9.64) могут быть переписаны:

Вынося за скобку коэффициент получаем:

Рис. 9.5. Сочетание комы второго и четвертого порядков

Делая переход к полярным координатам, после некоторых преобразований имеем:

Фигура рассеяния, построенная на основе формул (9.69), представлена на рис. 9.5. Напомним, что эта фигура соответствует лишь одному определенному контуру обхода по зрачку.