§ 94. Приемы исправления кривизны поля. Сумма Петцваля

Занимаясь вопросом исправления кривизны поля, нельзя не остановиться на рассмотрении суммы Петцваля — четвертой суммы из числа коэффициентов Зейделя теории аберраций третьего порядка.

Сумма Петцваля, определяющая собой кривизну поля при исправленном астигматизме, является единственной из числа коэффициентов аберраций третьего порядка, справедливость которой сохраняется в очень многих случаях и для систем со значительными полями зрения, когда другие суммы уже утрачивают свое значение. Объяснением этому может быть отсутствие или малость высших порядков кривизны поля зрения для очень большого числа весьма разнообразных оптических систем.

Кроме того, можно доказать непосредственно, что сумма Петцваля будет справедливой и для больших полей зрения, если на всех поверхностях оптической системы углы падения и преломления главного луча будут невелики.

Рис. 19.5. К выводу зависимости между величинами для параксиальных лучей

Обращаясь к общим формулам (14.120) из теории аберраций третьего порядка, приведенным в § 76, напишем выражение для четвертой суммы

Напомним, что при устранении астигматизма третьего порядка, когда сумма становится равной нулю, четвертая сумма, согласно формулам (14.119), определит равенство меридиональной и сагиттальной составляющих поперечной аберрации при равных значениях координат на зрачке и

Преобразуем сумму Петцваля. На рис. 19.5 представлен ход параксиальных лучей, составляющих с осью системы углы и и величины предмета и изображения Можно показать, что произведение будет равно произведению взятому с обратным знаком.

Умножая эти произведения на показатель преломления приходим к инварианту Лагранжа-Гельмгольца

Составляя разность инвариантов Аббе можно написать

Умножая это выражение на произведение находим

Таким образом, из выражения суммы Петцваля может быть вынесено за знак суммы отношение и тогда эта сумма примет вид

Величина суммы Петцваля для одиночной линзы в воздухе

для равенства ее нулю необходимо соблюсти условие

Рис. 19.6. Ход луча через близкие преломляющие поверхности при малых углах падения и преломления

Разность обратных величин радиусов для тонких линз может быть выражена через силу тонкой линзы. Таким образом, для тонкой линзы в воздухе значение суммы Петцваля становится равным

что позволяет представить сумму Петцваля для системы из тонких линз в виде

Покажем справедливость суммы Петцваля для системы с большим полем зрения при ходе главного луча, составляющего с нормалями к преломляющим поверхностям малые углы и

Обратимся к рис. 19.6, на котором представлен ход главного луча через две смежные преломляющие поверхности с номерами к

и когда главный луч составляет с их нормалями малые углы

Так как угол главного луча с осью системы после его преломления к поверхности связан с углом формулой

то при малости углов приходим к малым разностям полевых углов и

Пользуясь формулами (13.44), можно связать отрезки определяющие расстояния точек пересечения главного луча с осью системы до центров преломляющих поверхностей, зависимостями:

откуда следует, что при конечных значениях величины должны быть малыми.

Разность отрезков определяет собой расстояние между центрами поверхностей

которое также должно быть мало.

Малость углов позволяет заменять меридиональный и сагиттальный инварианты вдоль главного луча через инвариант Аббе. Таким образом, можно написать

где символами обозначены отрезки вдоль главного луча в отличие от отрезков вдоль оси

Переходя к новой оси составляющей угол с осью оптической системы, и проектируя на эту ось расстояние между центрами поверхностей, получаем

Преобразуем инвариант Аббе, подставляя в него значения согласно рис. 19.6,

переходя к обратным величинам и деля их на находим

Заметим, что эта формула не предусматривает каких-либо ограничений для величин

Напишем аналогичную формулу для отрезков (не малых), совпадающих с новой осью,

Рассмотрим переход от величин к величинам Согласно формулам (19.22) и (19.24), следует

Учитывая, что величина мала, и отбрасывая величины высшего порядка малости, формулу (19.29) можно представить в виде

Заменяя величину через согласно формуле (19.24), и суммируя полученное выражение для поверхностей системы, находим

Добавим к формуле (19.31) член

и получим

В случае, когда предмет расположен в бесконечности, отрезки будут равны бесконечности, и тогда формула (19.33) упрощается:

Переходя к отрезкам вдоль оси системы, находим

Для получения плоского поля необходимо соблюсти условие

поэтому, деля выражение (19.34) на и составляя разность с выражением (19.35), получаем

что может быть обеспечено лишь в случае равенства нулю суммы Петцваля

полученной нами в качестве множителя в правой части формулы (19.37).

В качестве примера для объектива «Гипергон», составленного из двух менисков при дальнем положении входного зрачка и обладающего полем зрения величина суммы Петцваля равна всего лишь 0,0005.

Данные объектива «Гипергон» следующие:

Одним из приемов исправления кривизны поля является использование тонкой линзы, расположенной в непосредственной близости к изображению и называемой линзой Смита.

В подобном случае свойства линзы Смита будет определять та из ее поверхностей, которая определяет и ее силу.

Полагая, что такой поверхностью является первая поверхность, можно написать

Если при этом предыдущая система свободна от астигматизма, то тогда отрезки в меридиональной плоскости и сагиттальной плоскости должны быть равными друг другу.

Так как линза Смита располагается вблизи плоскости изображения, то это позволяет принять отрезки малыми величинами.

Исходя из формулы (19.39), можно определить отрезки:

откуда, учитывая, что отрезок мал, и пренебрегая величинами высшего порядка малости,

Формулы (19.41) позволяют составить астигматическую разность

величина которой будет мала даже при значительных величинах углов и

Определим кривизну поля, вносимую линзой Смита. Эта величина в случае, если толщина линзы по оси равна нулю, выразится разностью отрезков Поэтому, пользуясь формулами (19.41), находим

Если вторая поверхность линзы Смита плоская, то тогда отрезок при устраненной кривизне поля должен стать равным стрелке преломляющей поверхности

Полагая, что кривизна поля исправляемая линзой Смита,

и приравнивая ее разности отрезков получаем

откуда находим обратную величину радиуса кривизны ноля

где определяет собой силу линзы в воздухе, а не силу преломляющей поверхности.

Линза Смита, будучи расположенной вблизи изображения, не должна влиять на другие аберрации системы — кому, сферическую аберрацию, дисторсию.

Одним из недостатков линзы Смита является ограниченность величины изображения, для которого может быть устранена кривизна поля, что обусловлено возможностью возникновения полного внутреннего отражения на ее последней поверхности для лучей наклонного пучка.

Рис. 19.7. Ход луча через две апланатические поверхности

Своеобразным элементом, позволяющим корригировать кривизну поля, является линза, ограниченная двумя апланатическими поверхностями (рис. 19.7).

Если биапланатическая линза находится в воздухе, то входной и выходной углы параксиального апертурного луча должны быть равны друг другу; следствием этого явится равенство линейного увеличения единице, влекущее равенство величин предмета и изображения, т. е.

Это равенство строго соблюдается для предмета и изображения конечной величины при условии, что главный луч проходит через апланатические точки обеих поверхностей.

Причем в этом случае на главном луче не будут возникать ни кома, ни астигматизм, ни сферическая аберрация.

Радиусы обеих апланатических поверхностей не равны друг другу; их отношение будет равно отношению синусов углов и образуемых прямыми, проходящими через вершины предмета и изображения и центры поверхностей, с осью системы. Таким образом, можно написать

что приводит к несоблюдению условия Петцваля, и, как следствие, к внесению кривизны поля.

Кривизна поля, вносимая биапланатической линзой, может быть определена по точной формуле

где величина определяется из просчета нулевого Для положений предмета, находящегося на расстоянии от вершины первой поверхности, равном

Нетрудно определить дисторсию, вносимую биапланатической линзой, пользуясь известными формулами,

и относительную дисторсию

где значение также определяется из расчета хода нулевого луча.

Для исправления кривизны поля довольно широко используются концентрические линзы. Обращаясь к формуле (19.16) и сопоставляя ее с формулой (12.16) для силы концентрической линзы, находим, что для концентрической линзы сумма Петцваля становится равной ее силе.

Рис. 19.8. К исправлению кривизны поля с помощью концентрической лиизы

Условием использования концентрической линзы для исправления кривизны поля является совмещение общего центра ее поверхностей с центром зрачка выхода предшествовавшей системы. Такая картина представлена на рис. 19.8. Главные плоскости концентрических линз совпадают с общим центром их поверхностей; это позволяет рассматривать концентрическую линзу как расположенную непосредственно в центре выходного зрачка. Поэтому расстояния от центра зрачка до изображения от предшествующей системы по оси и вдоль главного луча можно рассматривать как предметные расстояния для концентрической линзы.

Эти предметные расстояния нетрудно связать друг с другом через величину искривления изображения от предшествующей системы и полевой угол

Пользуясь рис. 19.8, находим

Сила концентрической линзы как вдоль оси, так и вдоль главного луча сохраняется неизменной. Это позволяет написать, пользуясь формулой отрезков,

Условие исправления кривизны поля выразится равенством

и тогда, деля правую часть формулы (19.54) на косинус угла и вычитая из левой части, находим

откуда может быть определена необходимая для устранения кривизны поля сила концентрической линзы

В частном случае, когда поверхность изображения от предшествовавшей системы была концентричной к ее выходному зрачку, что определяется равенством

формула (19.57) преобразуется

Следовательно, заднее фокусное расстояние концентрической линзы становится равным предметному отрезку с обратным знаком, в силу чего произойдет совмещение переднего фокуса линзы с предметной точкой и перенос изображения после концентрической линзы в бесконечность.

Это обстоятельство ограничивает возможности исправления кривизны поля с помощью концентрических линз тем, что искривленная поверхность изображения перед концентрической линзой должна иметь меньшую кривизну, чем сфера, описанная из центра зрачка выхода.

При исправлении кривизны поля могут быть с успехом использованы анастигматические и, в особенности, телеанастигматические линзы.

В § 68 уже упоминалось о том, что в целях устранения комы в телеанастигматических линзах удобно пользоваться парами телеанастигматических линз, расположенных симметрично относительно материальной диафрагмы или зрачка входа (выхода) корригируемой оптической системы.

Переход к парам телеанастигматических линз позволяет также изменять кому такой пары в том или ином направлении, что может быть использовано для коррекции комы.

Установим связь между исправляемой величиной кривизны поля и масштабом пары телеанастигматических линз.

На рис. 19.9. представлены две симметрично расположенные относительно диафрагмы телеанастигматические линзы, из которых задняя линза по своим параметрам пропорциональна передней линзе с коэффициентом пропорциональности Обозначим отрезок от вершины последней поверхности второй телеанастигматической линзы до точки пересечения главного луча с осью через та и фокальный отрезок той же телеанастигматической линзы через

Расстояние между точками можно рассматривать как расстояние от задней главной точки до точки изображения пары телеанастигматических линз, работающих с увеличением V, равным коэффициенту пропорциональности взятому с обратным знаком.

Пользуясь рис. 19.9, можно написать

откуда нетрудно получить фокусное расстояние пары телеанастигматических линз

Рис. 19.9. Пара телеанастигматических линз

Рис. 19.10. К исправлению кривизны поля с помощью пары телеанастигматических линз

Вычитая из фокусного расстояния отрезок та, найдем задний фокальный отрезок для пары телеанастигматических линз

Зная величину заднего фокального отрезка пары телеанастигматических линз, определим величину коэффициента при котором эта пара (рис. 19.10) сможет устранить кривизну поля корригируемой системы.

Обозначим фокусное расстояние корригируемой системы через ее передний фокальный отрезок — и расстояние между

Парой телеанастигматических линз и этой системой Согласно формуле Ньютона, найдем

Установка телеанастигматических линз перед корригируемой системой не меняет положения точки изображения для полевого угла, для которого были рассчитаны телеанастигматические линзы. Поэтому для устранения кривизны поля необходимо, чтобы задний фокус телеанастигматических линз был расположен на расстоянии от переднего фокуса корригируемой системы.

Согласно рис. 19.10, для этого должно быть соблюдено равенство

откуда

или, учитывая формулы (19.63) и (19.62),

В формулы (19.64)-(19.66) вошла величина которая должна определяться из условия согласования положения зрачков для телеанастигматической и корригируемой систем.

Полагая, что входной зрачок корригируемой системы находится от нее на расстоянии получим значение промежутка между системами в виде разности

Подставляя значение промежутка в формулу (19.66), определяем

Решим это выражение относительно :

Формула (19.69) позволяет находить нужную величину коэффициента пересчета пары телеанастигматических линз еще до определения переходного промежутка, зная лишь расстояние Для исходной задней телеанастигматической линзы и коэффициент пропорциональности между обеими линзами.

Особый интерес представляют воздушные телеанастигматические линзы и пары линз. Такие телеанастигматические линзы могут быть образованы внутри оптической системы, и в частности внутри плоскопараллельной пластинки, которая тоже является

телескопической системой, свободной от астигматизма и кривизны поля в параллельном ходе лучей.

Плоскопараллельная пластинка с воздушной телеанастигматической линзой обладает тем ценным свойством, что полевые углы при выходе из нее в воздух возрастают в соответствии с законом преломления; это позволяет иметь не очень большие углы падения и преломления главного луча с нормалями к сферическим поверхностям такой телеанастигматической линзы, что предопределяет отсутствие значительных остаточных зон астигматизма для меньших полевых углов.

Второй особенностью плоскопараллельной пластинки с воздушной телеанастигматической линзой является возможность использования разных показателей преломления, благодаря чему при соответственном подборе увеличения возможно устранение сферической аберрации.

Рис. 19.11. К исправлению кривизны поля с помощью линзы с дисторсией

Совершенно очевидно, что такая телеанастигматическая система при пересчете по подобию, влияя на изменение кривизны поля корригируемой системы, не сможет влиять на изменение ее сферической аберрации.

Рассматривая сумму Петцваля, видим, что для большого числа оптических систем величина этой суммы хорошо согласуется с реальной кривизной поля даже и при значительных полях зрения. Это объяснялось отсутствием кривизны поля высшего порядка для подобных систем.

Однако такое положение все же не всегда имеет место; встречаются случаи, когда, не изменяя величины суммы Петцваля, представляется возможным влиять на величину кривизны поля. Одним из таких случаев является возможность преобразования астигматизма от предыдущей оптической системы в изменение кривизны поля после второй системы, обладающей значительной диссторсией.

На рис. 19.11 представлены две системы I и II, из которых система II имеет значительную отрицательную дисторсию, не обладая при этом собственным астигматизмом. В частном случае подобной системы может быть использована апланатическая поверхность.

Обращаясь к § 29 и используя формулы (6.22) и (6.23), можно получить выражения для сагиттального и меридионального линейных увеличений в зависимости от дисторсии:

где величина может быть связана с дисторсией

Величину выразим приближенно как функцию вида

тогда получим выражения для обоих увеличений:

В случае, если система находится в воздухе, ее продольные увеличения в точке — и -будут равными квадратам линейных увеличений:

Составим отношение продольных увеличений

Задавая величину этого отношения равной одной трети, можно получить значения коэффициента

откуда

Создавая в первой системе астигматизм и не меняя при этом величины суммы Петцваля, будем иметь втрое более быстрый рост меридиональной кривизны изображения по отношению к росту сагиттальной кривизны; однако после второй системы прирост меридиональной кривизны окажется замедленным втрое, благодаря чему он уравняется с приростом сагиттальной кривизны, перейдя в общий прирост кривизны поля.

Таким образом, можно осуществлять изменение кривизны- на краю поля зрения, не затрагивая ее в средней части.

Производя численные подсчеты по формуле (19.77), видим, что для достижения этой цели достаточно иметь сравнительно не очень большую отрицательную дисторсию — около 17%.