§ 13. Апланатическая сферическая поверхность

Имея в распоряжении формулу (2.18), можно поставить условие отсутствия астигматизма для одной преломляющей сферической поверхности — равенство отрезков Это условие приводит к следующему выражению:

откуда

или, разделив на и взяв обратные величины,

Рис. 2.5. Анастигматические точки сферической поверхности

Дадим геометрическую интерпретацию формуле (2.37). Обращаясь к рис. 2.5, видим, что оба отрезка должны иметь одинаковые знаки, а поэтому и предметная точка и точка изображения будут расположены по одну сторону от преломляющей поверхности. Кроме того, ранее было показано, что сагиттальные точки предмета и изображения и центр поверхности С должны лежать на одной прямой.

Обозначая углы главного луча с этой прямой через и замечаем, что нормаль образует один и тот же внешний угол по отношению к двум треугольникам и с углами при точке и при точках

В соответствии с рис. 2.5 можно записать

С другой стороны, опуская перпендикуляр из точки В на прямую образуем треугольники и из которых следует, что отрезок будет равен

Разделив формулу (2.39) на (2.37), получим

или

Пользуясь формулой (2.38), можно выразить угол через углы и :

откуда

Заменяя отношение отношением и деля формулу (2.43) на получаем

Отсюда нетрудно получить величину

что после некоторых преобразований дает

и приводит к равенствам углов:

Далее мы можем написать, опуская из центра поверхности перпендикуляры и на падающий и преломленный лучи:

откуда

Таким образом, мы пришли к выводу, что точки в которых наблюдается отсутствие астигматизма, должны быть расположены на одной и той же прямой, проходящей через центр преломляющей поверхности, на расстояниях от центра, равных соответственно независимо от углов главного луча с нормалью к преломляющей поверхности. Это справедливо для любых главных лучей, проходящих через апланатические точки.

Иными словами, эти точки будут безаберрационными. Кроме того, обращаясь к формуле (1.70) и заменяя в ней отношение узловых фокусных расстояний отношением показателей преломления:

приходим к условию синусов Аббе, обеспечивающему постоянство линейного увеличения для изображения элемента, расположенного на оси системы.

Для рассматриваемой сферической поверхности, согласно формуле (2.41), отношение может быть заменено отношением показателей преломления, что позволяет переписать формулу (2.50) в виде

Из формулы (2.51) следует, что рассматриваемое положение точек удовлетворяет условию синусов Аббе. Поэтому принято называть точки расположенные на расстояниях от центра сферической преломляющей поверхности, апланатическими точками сферической поверхности.