Часть 3. УЧЕНИЕ ОБ АБЕРРАЦИЯХ

Глава 7. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВОЛНОВОЙ ТЕОРИИ СВЕТА

§ 35. Основные определения

Ряд явлений, с которыми приходится сталкиваться при разработке оптических систем, нельзя объяснить, ограничиваясь рамками геометрической—лучевой оптики.

Одним из таких примеров было рассмотренное в предыдущем параграфе явление просветления оптики. Кроме того, без представлений волновой оптики невозможно иметь суждение о разрешающей способности оптической системы и давать точную оценку качества изображения, в том числе глубины изображения, которая при геометрической трактовке существенным образом занижается. Вместе с тем и рассмотрение аберраций оптических систем более удобно строить, опираясь на представления волновой оптики, т. е. на понятие волновых аберраций.

Будем исходить из представления источника света — светящейся точки — как источника электромагнитных колебаний. Примем, что эти колебания распространяются в пространстве с течением времени, с определенными скоростями, в различных средах и с различными длинами волн.

Рассматривая некоторую светящуюся точку предположим, что колебательный процесс в этой точке может быть описан закономерностью

где путь колеблющейся точки; а — амплитуда колебания; период колебаний; текущая координата — время.

Полагая мы будем получать одну и ту же величину т. е. одну и ту же фазу колебания.

Вместе с тем, если принять, что колебательный процесс распространяется в пространстве со скоростью с, то за время, равное периоду колебания этот процесс распространится на расстояние т. е. на длину волны

Таким образом, если скорость распространения колебательного процесса по всем направлениям будет одинаковой (при его распространении в однородной среде), то на равных расстояниях от источника света 5 будет наблюдаться одна и та же фаза колебания; иными словами, на сфере, описанной из источника света, как из центра, будет сохраняться одна и та же фаза колебания.

Увеличивая радиус такой сферы на одну и ту же величину — на длину волны, — мы, очевидно, получим новую сферу, на которой тоже будет сохраняться исходная фаза колебания.

Продолжая увеличивать радиусы сфер на целые числа волн, будем получать множество сфер, на которых сохраняется одна и та же фаза. Если положение таких сфер зафиксировать в пространстве, то с течением времени на всех фиксированных сферах в один и тот же момент времени будет протекать идентичный колебательный процесс.

Рис. 7.1. Волновые поверхности

Поверхности, на которых сохраняется одна и та же фаза колебания, фиксируемые в пространстве в один и тот же момент времени, принято называть волновыми поверхностями; в общем случае такие поверхности будут отличны от сфер.

Как мы уже видели, в частном случае распространения волн от точечного источника колебаний в однородной среде наблюдается семейство сферических поверхностей с общим центром в источнике света. Если колебательный процесс протекает в однородной среде, то нормали к волновым поверхностям можно отождествить с направлениями распространения света, т. е. с лучами света.

Картина распространения световых возмущений в однородном пространстве представлена на рис. 7.1. Кроме хода лучей исходящих из источника света здесь показано также расположение нескольких волновых поверхностей, отстоящих друг от друга на длину волны

Если на пути распространения световых колебаний встретится поверхность, отделяющая от первой среды вторую, в которой скорость распространения света будет отличной от скорости света в исходной среде, то на этой поверхности произойдет изменение распространения волн; геометрически это выразится как изменение направлений распространения колебаний, т. е. как изменение направления хода лучей.

Тем не менее и после прохождения света через такую поверхность можно провести через точки пространства, в которых сохраняется одна и та же фаза колебания, ряд волновых поверхностей, также отстоящих друг от друга по своим нормалям на расстояния, равные целым числам волн; но в общем случае волновые поверхности при этом потеряют сферическую форму.

Создавая ту или иную оптическую систему, состоящую из нескольких сферических или несферических преломляющих (или отражающих) поверхностей, удается в большей или меньшей степени возвратить волновые поверхности к сферической форме и свести их нормали — лучи в одну и ту же точку, которую мы и будем рассматривать как изображение источника света.

Обращаясь к идеальному случаю, когда все выходящие из системы лучи пересекутся в одной точке и когда волновые поверхности примут сферическую форму, мы встретимся со следующим явлением.

Взяв какую-либо волновую поверхность в пространстве, где расположен источник света, мы видим, что на любом направлении от источника света до этой поверхности должно уложиться одно и то же число волн, например

Прослеживая изменение волновых поверхностей через оптическую систему, мы легко убеждаемся в том, что между любыми волновыми поверхностями всегда укладывается одно и то же число волн, так как это вытекает из самого определения понятия о волновой поверхности. Поэтому между любой волновой поверхностью в предметном пространстве и любой волновой поверхностью в пространстве изображений всегда должно сохраняться одно и то же число волн, например

Если волновая поверхность после оптической системы приобрела снова сферическую форму, то по всем направлениям до изображения источника света от этой поверхности также должно уложиться одинаковое число волн, например

Суммируя числа волн мы получаем число волн между источником света и его изображением

которое должно быть одинаковым по всем направлениям распространения света, т. е. вдоль всех лучей, исходивших из источника света и приходивших в точку его изображения. Это положение известно под названием принципа Ферма-Малюса.

Как известно, скорость распространения света в различных средах различна и равна скорости света в пустоте деленной на показатель преломления рассматриваемой среды. Таким образом, можно написать:

Умножая эти скорости на период колебания получаем длины волн для различных сред:

Обратимся к рассмотрению хода какого-либо луча через оптическую систему, складывающегося из нескольких прямолинейных отрезков (косых толщин), ограниченных преломляющими поверхностями системы.

Добавляя к этим отрезкам расстояния от источника света до точки преломления на первой поверхности и от точки преломления на последней поверхности до точки изображения, получим ряд отрезков вдоль которых распространяется свет в различных преломляющих средах.

Эта картина представлена на рис. 7.2. Зная длины можно установить числа волн, укладывающихся на отрезках

Суммируя эти числа волн, мы должны получить общее число волн между точкой предмета и ее изображением, остающееся неизменным для всех лучей. Получаем

Рис. 7.2. Оптическая длина хода

Но в соответствии с формулой (7.5) формулу (7.7) можно выразить через показатели преломления:

Называя произведения показателя преломления на расстояние I оптической длиной хода, формулу (7.8) можно рассматривать как условие постоянства суммарной оптической длины хода для всех лучей между источником света и его изображением.

В качестве примера использования представлений волновой оптики рассмотрим случай плоско-выпуклой линзы, обращенной плоской стороной к бесконечно удаленной предметной точке на оси линзы (рис. 7.3).

В этом случае на линзу будет падать параллельный пучок лучей или плоская световая волна, перпендикулярная оси системы, превращающаяся после прохождения через линзу в неплоскую поверхность, в первом приближении — в сферу с центром, расположенным в точке заднего фокуса

Составим величину оптической длины хода от первой поверхности линзы до точки вдоль оси линзы. Согласно определению оптической длины хода, можно написать

Оптическая длина хода для луча, проходящего через острый край линзы, будет равна

так как длина хода луча внутри линзы на ее остром крае равна нулю.

Согласно принципу Ферма-Малюса, выражения (7.9) и (7.10) должны быть равными друг другу:

откуда

Если показатель преломления будет больше единицы, то отрезок I будет больше, нежели толщина линзы Разность этих величин выразит приближенную величигу стрелки поверхности волны

Но, с другой стороны, величина стрелки может быть выражена приближенной формулой

Рис. 7.3. К определению положения изображения на основе волновой теории света

Толщину линзы можно также рассматривать как стрелку сферической поверхности плоско-выпуклой линзы с радиусом, равным

Учитывая отрицательный знак радиуса можно написать

Сопоставив формулы получим

откуда, сократив на

что полностью согласуется с величиной силы линзы, определяемой из геометрических соображений.

Этот пример наглядно показывает, что выводы, сделанные из представлений волновой теории света, не расходятся с результатами, полученными на основе геометрической оптики, что позволяет во многих случаях решать ряд вопросов либо одним, либо другим методом; при выборе же того или иного метода целесообразно исходить из их сравнительной простоты.

Обратим внимание на некоторые особенности использования волновых представлений.

Возвращаясь к рис. 7.3 и сопоставляя чисто геометрически расстояния вдоль оси и вдоль луча, проходившего через острый край линзы, видим, что расстояние вдоль луча оказывается несколько длиннее, нежели вдоль оси; поэтому вдоль луча происходит как бы скачок на величину отрезка, равного величине стрелки волновой поверхности, вышедшей из линзы, через которую и был определен вершинный отрезок

Обычно не дают каких-либо ограничений для места расположения такого скачка; так, в нашем примере его можно было бы отнести к задней главной плоскости линзы, касательной к ее вершине.

Нам, однако, представляется более целесообразным относить положение начала такого скачка к точке, в которой произошло преломление луча. Нетрудно представить себе, что подобные скачки будут наблюдаться и на других лучах рассматриваемого осевого пучка параллельных лучей.

Соединяя точки окончаний этих отрезков, образуем некоторую поверхность, показанную на рис. 7.3 штриховой линией; преломляющая поверхность линзы, ограничивающая начало отрезков, и заключительная поверхность (штриховая линия) ограничивают область пространства, определяющего скачок для любого из лучей осевого пучка. Подобную область можно рассматривать как эффект работы рассматриваемой плоско-выпуклой линзы.

Рис. 7.4. Изменение величины участка волновой поверхности

Второе обстоятельство, на которое следует обратить внимание при оценке работы оптической системы с точки зрения волновой теории света, заключается в следующем.

Ранее, в § 18 [формула (3.58)], было получено условие синусов Аббе, выразившееся в том, что при бесконечно удаленной точке на оси системы высота луча — его расстояние от оси — должна быть равна произведению фокусного расстояния и синуса выходного апертурного угла.

Обращаясь к рис. 7.4, на котором представлена картина хода двух близких параллельных лучей при расстоянии между ними, равном видим, что эти лучи пересекутся с выходной главной сферой в точках отстоящих друг от друга на расстояние, равное

Таким образом, энергия, несомая участком волны шириной, равной на краю отверстия должна будет распределиться на более широком участке выходящей волны. Вместе с тем вблизи оси системы и на входящей, и на выходящей волновой поверхности соответствующие участки сохранятся равными друг другу. Отсюда вытекает, что энергия, несомая выходной волной, в разных ее участках будет различной.

Совершенно очевидно, что такое различие будет тем меньше, чем меньше величина выходного апертурного угла, определяющего светосилу системы. Поэтому обычно энергетическую неравномерность на поверхности выходящей волны не учитывают, полагая, что величина амплитуды на всей поверхности волны сохраняется постоянной.