§ 74. Плоскогиперболическая линза

При рассмотрении анаберрационных поверхностей было установлено, что при показателях преломления (случай преломления из стекла в воздух) такой поверхностью становится гиперболическая поверхность, профиль которой исходя из (14.46) определяется уравнением

У такой гиперболической поверхности должны быть два выходных анастигматических зрачка; одним из них окажется точка заднего фокуса этой поверхности.

Рис. 14.6. Работа гиперболической поверхности

Действительно, коэффициент В, определяющий гиперболу, выраженную условием (14.86), будет равен

тогда, обращаясь к формуле (14.78), находим

Отсюда получаем два значения для отрезка

Очевидно, что первый из корней подтверждает раиее полученный вывод об анастигматичности точки заднего фокуса.

Однако второй корень определяет другое положение выходного зрачка, представляющее практический интерес.

Обращаясь к рис. 14.6, на котором приведены рассматриваемая гиперболическая поверхность и ход апертурного луча свободного от сферической аберрации для точки на оси, видим, что

поворачивая падающий и преломленный лучи относительно нормали на 180°, мы сохраняем величину косинуса угла неизменной, что и было необходимо для устранения астигматизма.

При этом нетрудно установить, что после поворота падающий луч образует с осью угол величина которого должна быть равной удвоенному углу образованному нормалью к гиперболе в точке В с координатами

Пользуясь рис. 14.6, можно определить величину тангенса выходного угла для луча после его поворота вокруг нормали:

или для нашего случая, учитывая вторую формулу (14.89),

Для тангенса угла была получена формула (14.70), которую можно преобразовать, если подставить в нее значение В из формулы (14.87):

Зная величины можно с помощью формул (14.90) и (14.92) определить углы и ; пользуясь законом преломления, можно найти угол и затем угол через который по формуле, аналогичной (14.90), можно получить и отрезок определяющий положение входного зрачка.

Для примера зададимся отрезком и показателем преломления

Радиус в вершине гиперболы будет равен —61,26.

Уравнение профиля несферической поверхности будет иметь вид

Полагая абсциссу равной 2,00, получим ординату точки преломления главного луча

Углы будут равны:

Определим положение точек пересечения главного луча с осью поверхности до и после преломления, т. е. положение входного и выходного зрачков:

При сохранении положения выходного зрачка для нулевых лучей положение зрачка входа в этой области, определяемое отрезком будет несколько отличаться от положения реального зрачка входа, т. е. будет равно — 30,630.

Таким образом, во входном зрачке возникает сферическая аберрация. Однако, располагая впереди гиперболической поверхности плоскость, можно, подбврая требуемую толщину лнизы, добиться устранения аберрации во входном зрачке.

Опуская сам процесс нахождения толщины лиизы, приходим к плоскогиперболической линзе со следующими параметрами:

(см. скан)

Фокусное расстояние лиизы ; уравнение гиперболы было приведено выше.

Выпишем для нашего примера величины входного и выходного углов, а также величины отрезков до зрачков входа и выхода:

где положение входного зрачка от первой плоской поверхности для нулевых лучей.

Размещение значения радиуса между обратными скобками) (является обозначением гиперболичности; для эллипса удобно пользоваться размещением значения радиуса в вершине между обычными скобками для параболической поверхности можно воспользоваться одной скобкой, ориентируемой согласно знаку радиуса.

Полученная плоскогиперболическая линза будет строго свободной от сферической аберрации для произвольной величины отверстия и будет свободной от астигматизма для приведенного угла поля зрения.