§ 17. Инвариант сагиттальной комы

Подобно изменению положения вершин узких меридиональных пучков лучей, внутри широких пучков имеет место изменение положения вершин узких пучков лучей, лежащих в сагиттальной плоскости. Поэтому аналогично величинам в меридиональной плоскости, выражающим относительные перемещения меридиональных точек, можно ввести коэффициенты определяющие перемещения сагиттальных точек по отношению к изменению меридиональных апертурных углов.

Заметим, что, если коэффициенты можно было рассматривать как радиусы кривизны каустики, коэффициентам нельзя дать подобной геометрической интерпретации.

Вывод инварианта сагиттальной комы аналогичен выводу инварианта меридиональной комы с той лишь разницей, что величины отрезков и V до меридиональных точек должны быть заменены отрезками до сагиттальных точек, равно как и меридиональный инвариант Гульстранда-Юнга должен быть заменен сагиттальным инвариантом.

В соответствии с этим вместо формулы (3.6) пишем

Внешне формулы (3.8) и (3.9) сохраняются:

Дифференцирование сагиттального инварианта дает вместо формулы (3.11)

и после подстановки из формул (3.37) и (3.38) величин и и аналогично величин и

Раскрывая скобки и делая сокращения, получим

т. e. инвариант сагиттальной комы. Если полагать, что предмет расположен в бесконечности, то величины становятся равными бесконечности и правая часть формулы (3.41) обращается в нуль. Таким образом,

Помня, что при этом величины выражаются формулами:

получаем

что после некоторых преобразований дает

и аналогично

Так как то, умножая формулу (3.45) на и формулу (3.46) на приходим к равенству

Для апланатических точек с учетом равенства (3.29) формула (3.41) принимает вид

или