§ 21. Сферическая аберрация сферической преломляющей поверхности в зависимости от положения предмета

Зная углы падения и преломления реального апертурного луча на сферической преломляющей поверхности, можно установить зависимость сферической аберрации от положения предмета.

На рис. 4.4 представлен ход луча через сферическую - преломляющую поверхность радиусом разделяющую среды с показателями преломления

Отрезки от вершины поверхности до предметной точки А и точки ее изображения А обозначим через отрезки от точек до центра поверхности С обозначим через

Рис. 4.4. Сферическая аберрация для точки на конечном расстоянии

Изображение точки А и все отрезки, образующиеся в области нулевых лучей, будем обозначать индексом нуль (на рисунке не показано). Опуская из точки С перпендикуляры и на падающий и преломленный лучи, получаем соотношения, которые связывают отрезки через углы и :

Из формулы (4.16) нетрудно получить инвариант, умножая первую из формул на а вторую — на

Переходя к нулевым лучам, Получаем для линейного увеличения следующее выражение:

Обратимся к инварианту Аббе:

Так как отрезки можно рассматривать как разности отрезков то формулу (4.19) можно представить в виде

что позволяет дать для линейного увеличения следующую формулу:

Возвращаясь к инварианту Аббе и исключая из него с помощью формулы (4.21) величину получаем выражение

Вычитая величину из значения радиуса можно найти величину отрезка

Отрезок может быть определен из формулы (4.17):

Составляя разность отрезков получаем величину сферической аберрации

Угол нетрудно получить из рис. 4.4:

Величины углов могут быть заданы через закон преломления; величина же угла может быть получена из формулы (4.17):

или, согласно (4.23),

Формулы (4.25), (4.26) и (4.28) позволяют определить сферическую аберрацию для любых увеличений при заданных значениях углов и Определим значения сферической аберрации для ряда значений увеличения

Этот случай соответствует размещению предмета в вершине преломляющей поверхности.

2. При и существование реальных углов возможнолишь при условии равенства тогда равно и может быть произвольным; величина же сферической аберрации получается равной

Этот случай соответствует размещению предмета в центре преломляющей поверхности.

что, как мы уже видели, соответствует размещению предмета в апланатической точке сферической поверхности.

Во всех трех случаях реальная сферическая аберрация получается равной нулю для произвольных углов и

Для всех других значений увеличения сферическая аберрация уже не будет обращаться в нуль. Поэтому, пользуясь формулами (4.25), (4.26) и (4.28), можно, сохраняя значения углов неизменными, найти ряд значений сферической аберрации в зависимости от увеличения и построить графики изменения сферической аберрации.

Рассмотрим четыре случая: преломление из стекла в воздух при показателях преломления, равных 1,5 и 2,0, и преломление из воздуха в стекло при тех же самых показателях преломления.

Численные значения сферической аберрации для этих четырех случаев приведены в табл. а соответствующие им графики изменения сферической аберрации в зависимости от увеличения — на рис. 4.5-4.8.

Рассматривая эти таблицы и графики, видим, что в области значений увеличений от до сферическая аберрация положительной по силе поверхности принимает положительные значения; во всех остальных случаях, вплоть до точек разрыва непрерывности, сферическая аберрация остается отрицательной.

(см. скан)

(см. скан)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Существенно, что при переходе к более высокому показателю преломления, равному двум, область существования положительных значений сферической аберрации значительно расширяется; одновременно с этим существенно уменьшаются значения отрицательной сферической аберрации при прежних увеличениях.

Совершенно очевидно, что в случае работы склеенной сферической поверхности, который равнозначен случаям показателей преломления, близких к единице, должны наблюдаться резкое сокращение области существования положительной сферической аберрации при положительной силе поверхности и более значительная по величине отрицательная сферическая аберрация вне этой области.