§ 92. Работа тонкого воздушного промежутка

При складывании двух линз с равными радиусами кривизны, до осуществления склейки, между поверхностями остается тонкая воздушная прослойка. Такая прослойка, как это было установлено в § 90, не должна изменять ход лучей по отношению к склеенной поверхности, хотя возможно, что на воздушной прослойке произойдет полное внутреннее отражение для некоторых лучей, которые проходили бы склеенную поверхность беспрепятственно.

Наряду с этим, поверхности, ограничивающие воздушную прослойку, могут иметь и несколько различающиеся радиусы и может существовать небольшая, но не равная нулю воздушная толщина.

Таким образом, для воздушной прослойки будем иметь, кроме параметров, присущих склеенной поверхности (разности

показателей преломления по обе стороны прослойки и величины исходного радиуса кривизны), еще два параметра — разность радиусов поверхностей, ограничивающих прослойку, и величину воздушного промежутка вдоль оси.

Эти дополнительные параметры воздушной прослойки позволяют делать ее афокальной; при этом не исключается воздействие прослойки на аберрации. Кроме того, принимая разность показателей преломления по обе стороны прослойки равной нулю, также не исключаем ее аберрационные свойства.

Переход к воздушной прослойке мог быть осуществлен от пары склеенных поверхностей с близкими радиусами путем снижения показателя преломления промежуточной среды до единицы. Однако определенным затруднением при подобном переходе явилось бы возрастание разностей показателей на обеих поверхностях, что поставило бы под сомнение применимость в этом случае формул для астигматизма склеенных поверхностей, полученных из условия малых разностей показателей.

Рис. 18.9. Концентрическая воздушная прослойка

Из-за этих причин возникает необходимость рассмотрения работы расклейки. Любую расклейку — систему из двух преломляющих поверхностей с различными радиусами по величине, но с одинаковыми знаками, разделенных малым воздушным промежутком, — всегда можно представить состоящей из двух прослоек: концентрической и с разными радиусами, не концентричными друг другу

При таком разделении можно отнести разность показателей преломления к случаю концентрической прослойки. Это позволяет рассматривать прослойку с разными радиусами как прослойку, разделяющую одинаковые среды, что приводит ее к случаю воздушной линзы с разными радиусами.

Подобное разделение позволяет свести влияние воздушного промежутка к действию концентрической прослойки, а работу прослойки с разными радиусами рассматривать лишь для какого-то определенного выбора толщин, в частности для случая равенства косой толщины нулю.

Рассмотрим работу концентрической воздушной прослойки, представленной на рис. 18.9. Из треугольника образованного косой толщиной толщиной прослойки и участком дуги равным произведению величины второго радиуса на угол между нормалями и следует

Найдем угол

откуда

Определим синус угла

Полагая, что мало и пренебрегая величинами высшего порядка малости, находим

Если можно определить синусы углов и по аналогии записать

Возводя это выражение в квадрат, можно написать

или

и, извлекая квадратные корни,

Возвращаясь к формуле (18.45), находим

и, отбрасывая величины высшего порядка малости,

Пользуясь дважды меридиональным инвариантом, получим, полагая отрезок равным бесконечности:

Складывая эти два выражения, находим

Преобразуем первую формулу (18.54), заменив в ней на сумму а косую толщину выразив в соответствии с формулой (18.43),

Аналогично преобразуется и вторая формула (18.54)

Так как отрезок мало отличается от отрезка в формуле (18.57) он может быть заменен через отрезок и тогда

Согласно формуле (18.53), отношение может быть выражено через Поэтому

Вынесем за общую скобку множитель перед круглыми скобками

Пользуясь формулами (18.51) и (18.53), косинусы углов могут быть исключены

или

В скобках формулы (18.62) во все члены входит множителем малая величина это позволяет вынести за скобки общий множитель так как различие в радиусах и будет выражаться при этом величинами высшего порядка малости.

Таким образом, получаем

или

откуда

Раскрывая круглые скобки и делая сокращения, получим

Так как углы мало отличаются друг от друга, то, отбрасывая величины высшего порядка малости, находим

- выражение, определяющее величину меридионального фокального отрезка величину меридионального фокусного расстояния можно получить, умножая этот отрезок на показатель преломления

Переходя к сагиттальной плоскости, можно написать

откуда, используя преобразования, проделанные при выводе формулы (18.61),

Заменяя отрезок через отрезок в первом члене формулы (18.70) и учитывая формулу (18.69), находим

или, вынося за скобку отношение

Делаем некоторые преобразования:

и окончательно

Равно как и в меридиональной плоскости, произведение из сагиттального фокального отрезка на показатель преломления дает величину фокусного расстояния в сагиттальной плоскости.

Таким образом, можно написать:

и тогда меридиональная и сагиттальная силы представятся в виде:

Формулы (18.76) при малых углах переходят в силу концентрической прослойки

что позволяет выразить силы в меридиональной и сагиттальной плоскостях через силу прослойки на оси:

Концентрическую прослойку рассматривали, полагая первую и последнюю среды одинаковыми; переход к разным показателям преломления нетрудно получить, добавляя (или вычитая) к концентрической прослойке концентрическую поверхность склейки при требуемой разности показателей.

Перейдем к рассмотрению воздушной линзы с различными радиусами, работающей на остром крае. Обращаясь к рис. 18.10, на котором представлена прослойка с острым краем и радиусами можно написать при малом

откуда

где расстояние между центрами обеих поверхностей, равное

Тогда

Величина угла между нормалями на остром крае будет равна

Рис. 18.10. Воздушная прослойка с острым краем

В результате равенства косой толщины нулю будем иметь

Пользуясь дважды меридиональным инвариантом и полагая предметный отрезок равным бесконечности, находим:

Исключая из формулы (18.86) отрезок с помощью формулы (18.85), получаем

Угол можно выразить через углы согласно рис. 18.10,

Далее, имея в виду малость угла найдем

откуда нетрудно получить отношение квадратов косинусов углов

Формула (18.88) позволяет перейти к синусам

или

и, деля на

Возводя выражение (18.93) в квадрат, можно получить зависимость косинусов углов

откуда

Из формулы (18.95) следует

что позволяет составить разность между выражениями (18.96) и (18.89)

или

Величину отношения можно представить в виде

что позволяет преобразовать формулу (18.87), используя при этом также формулы (18.90) и (18.98), к виду

и окончательно

Обращаясь к сагиттальной плоскости, можно написать:

откуда следует, учитывая формулу (18.97),

и окончательно

Формулы (18.101) и (18.105) позволяют определять величину астигматизма, вносимого прослойкой с различными радиусами.