Глава 13. АНАСТИГМАТИЧЕСКИЕ ЛИНЗЫ

§ 64. Условие анастигматичности

Оптическая система из двух преломляющих поверхностей, разделяющих три среды с различными показателями преломления, может быть корригирована на отсутствие астигматизма, и условие отсутствия астигматизма для предметной точки, расположенной в бесконечности, может быть получено в общем виде.

Для вывода этого условия обратимся к рис. 13.1, на котором представлен ход главного луча между двумя преломляющими

сферическими поверхностями, разделяющими оптические среды с показателями преломления в общем случае не равными друг другу.

Расстояние по главному лучу между точками преломления главного луча на обеих поверхностях обозначим через и назовем косой толщиной.

Углы главного луча с нормалями к обеим преломляющим поверхностям в пространстве между ними обозначим через эти углы могут иметь как одинаковые, так и разные знаки. Углы образуемые при падении главного луча на первую поверхность и после преломления на второй поверхности, могут быть найдены на основании закона преломления.

Рис. 13.1. Анастигматическая лииза

Радиусы поверхностей обозначим через Предметные отрезки вдоль главного луча примем равными бесконечности; отрезки после второй преломляющей поверхности примем равными друг другу, чем и будет обеспечиваться устранение астигматизма.

Пользуясь формулами (2.18), для первой и второй поверхностей можно написать:

Если положить в формуле (13.1) отрезки то отрезки перейдут в отрезки до соответственных фокусов Таким образом, формула (13.1) преобразуется (учитывается, что

Если положить в формуле (13.2) отрезки то отрезки перейдут в отрезки до передних фокусов Так как то формула (13.2) преобразуется:

Отрезки могут быть связаны с отрезками через косую толщину

Имея в распоряжении формулы (13.3)-(13.5), преобразуем формулу (13.2):

Отрезок должен быть равен отрезку отрезок согласно (13.3), также можно выразить через отрезок

Это позволяет преобразовать формулу (13.6):

но отношение может быть выражено, согласно формуле (13.6), в виде

и тогда формула (13.8) может быть переписана:

и окончательно

Формула (13.11) и является условием анастигматичности системы из двух преломляющих сферических поверхностей, разделяющих три среды с различными показателями преломления.

Величины показателей преломления в формулу (13.11) в явном виде не вошли; однако углы будут связаны друг с другом через показатели преломления Что же касается показателя преломления первой среды то его величина в формуле (13.11) ничем не обусловлена и он может быть выбран совершенно произвольно.

Если задать сагиттальный фокальный отрезок и углы то при известных может быть определен угол задаваясь косой толщиной можно определить все величины, входящие в правую часть формулы (13.11), и тогда может быть определен передний фокальный отрезок для второй поверхности. Формула (13.11) всегда дает значение отрезка для любых других входных величин.

Заметим, что в формулу (13.11) углы входят или под косинусами или под квадратом синуса; поэтому одно и то же значение при заданных будет иметь место при углах

как одного знака, так и разных знаков. Таким образом, мы всегда получаем две области существования систем из двух преломляющих сферических поверхностей, свободных от астигматизма, — анастигматических линз.

Условимся называть анастигматические линзы, получаемые для углов одного знака, анастигматическими линзами первого рода и при наличии разных знаков — анастигматическими линзами второго рода.