§ 18. Условие синусов Аббе. Условие Штебле — Лихотского

В § 13 была приведена формула (2.51), выражавшая условие синусов Аббе для одной преломляющей сферической поверхности. Однако, обращая внимание на то, что произведения узловых фокусных расстояний и показателей преломления в пространстве предметов и пространстве изображений получаются равными друг другу для любой оптической системы, приходим к выводу, что условие синусов Аббе, представленное формулой (2.51), будет справедливо не только для апланатических точек одной преломляющей сферической поверхности, но и для любой оптической системы:

Дадим геометрическую интерпретацию формуле (3.50). Умножая и числитель и знаменатель на некоторую величину А, формулу (3.50) можно представить в виде

Отношения можно выразить через некоторые отрезки

и тогда формула (3.50) может быть представлена в виде

В формулу (3.53) не входят углы. Поэтому она применима и в окрестности около оси системы, т. е. в области нулевых, или параксиальных, лучей.

Вместе с тем согласно инварианту Штраубеля для нулевых лучей можно написать V

откуда линейное увеличение У, может быть выражено через угловое увеличение:

Но, учитывая формулы (1.5) и (3.53) и помня, что вблизи оси косинусы углов переходят в единицы, можно написать

что может быть удовлетворено равенствами:

Геометрически равенства (3.57) обозначают, что отрезки и можно рассматривать как расстояния от главных точек системы до предметной точки и до точки изображения.

Обратимся к рис. 3.3, на котором из предметной точки А и точки изображения А проведем дуги окружностей радиусами равными расстояниям от главных точек до точек предмета и изображения.

Строя в точках ход луча с апертурными углами и мы видим, что этот луч образует на окружностях точки расстояния которых от оси системы должны оказаться равными друг другу.

Вращая рис. 3.3 вокруг оси системы, окружности и опишут две сферы, вершины которых будут проходить через главные точки и Но на оси. Эти две сферы уместно назвать главными сферами. Основным свойством главных сфер является то, что расстояние от оси точки пересечения любого апертурного луча с передней главной сферой определяет расстояние от оси точки пересечения этого же луча с задней главной сферой. В результате этого однозначно определится положение выходящего луча, так как он, кроме того, должен пройти через точку изображения.

Рис. 3.3. Главные сферы

Это свойство главных сфер напоминает свойства главных плоскостей в окрестности около оси системы (такие главные плоскости можно рассматривать как участки плоскостей, касательных к главным сферам); однако соответственные точки на главных сферах не являются сопряженными точками: они не являются изображениями друг друга.

Увеличивая отрезок от передней главной плоскости до предметной точки А, будем уменьшать отрезок от задней главной точки до изображения — точки в пределе, когда точка А уйдет в бесконечность, точка А совпадет с точкой заднего фокуса и отрезок станет равным фокусному расстоянию при этом входной апертурный угол станет равным нулю.

Однако, сохраняя при этом высоту неизменной, можно избежать неопределенности, и тогда условие синусов Аббе для бесконечно удаленной точки согласно (3.52) примет вид

Условие синусов Аббе базировалось на отсутствии сферической аберрации; однако на практике нередко приходится иметь дело с остаточной сферической аберрацией. С учетом этого Лихотским и Штебле было дано условие сохранения центрированности широкого наклонного пучка лучей в окрестности оси оптической системы. Рассмотрим это условие.

Обратимся к рис. 3.4, на котором представлены элемент изо бражения и элемент предмета образованные пересечением двух апертурных лучей, идущих из вершины элемента предмета и составляющих друг с другом значительные углы.

Полагая, что соблюдается центрированность наклонного пучка, выбираем ход главного луча, разделяющего в пространстве изображений угол между выходящими лучами на две равные части. Расстояние между элементом изображения и точкой пересечения главного луча с осью обозначим через

Рис. 3.4. К определению условия изопланазин

Отношение элемента изображения к элементу предмета обозначим через Согласно формуле (3.50),

Однако из-за наличия сферической аберрации линейное увеличение V не будет равно линейному увеличению для лучей, идущих вблизи оптической оси, так как элемент изображения для этих лучей не будет совпадать с элементом изображения для широкого пучка лучей.

Однако величину нетрудно связать с величиной элемента используя подобие треугольников с катетами В соответствии с рис. 3.4 можно написать

что позволит связать и увеличения

Отсюда

или

можно использовать выражение (3.63) и в другом виде: