§ 54. Ахроматизация системы из тонких линз в воздухе. Хроматизм плоскопараллельной пластинки

До сих пор мы рассматривали общие вопросы и закономерности, справедливые для любых оптических систем, или закономерности, справедливые для одной преломляющей поверхности.

Однако в очень многих случаях представляется возможным установить некоторые закономерности, справедливые для оптической системы, состоящей из двух преломляющих поверхностей, т. е. для отдельной линзы.

Особенно большое распространение имеют линзы, у которых первая и последняя среды одинаковы; примером такой линзы служит линза, расположенная в воздухе.

Рис. 11.3. К определению силы толстой линзы

Обратимся к рассмотрению такого случая. Воспользуемся для этой цели рис. 11.3, на котором представлена линза, ограниченная двумя преломляющими поверхностями с радиусами, равными и толщиной по оси, равной Показатель преломления стекла, из которого сделана линза, примем равным

Заднее фокусное расстояние первой поверхности будет, согласно формуле (2.20), равно

Направим на рассматриваемую линзу луч, идущий параллельно еесси на расстоянии, равном Этот луч, пересекая ось линзы на расстоянии от первой поверхности, образует с осью линзы

Определим отрезок для второй преломляющей поверхности:

Умножив отрезок на угол получим высоту луча на второй поверхности

Воспользуемся инвариантом Аббе для второй поверхности. Учитывая, что находим

откуда

Подставляя в формулу (11.29) значение из формулы (11.26), получаем

и, заменяя значение согласно формуле (11.24), имеем

Умножая формулу (11.31) на высоту находим

Отношение есть не что иное, как заднее фокусное расстояние рассматриваемой линзы. Поэтому

и пссле дальнейших несложных преобразований

Формула (11.34) есть общая формула для силы толстой линзы.

В случае, если толщина линзы мала, формула (11.34) может быть заменена приближенной формулой для тонкой линзы

Формула (11.35) становится точной, когда одна из поверхностей линзы превращается в плоскость.

Логарифмируя и дифференцируя по формулу (11.35), получаем формулу для хроматизма тонкой линзы

или

Формула (11.37) объясняет причину выбора относительной дисперсии (или чисел Аббе) как одного из параметров, характеризующих хроматические свойства оптических материалов.

Обращаясь к формуле (1.33) для силы совокупности двух систем и применяя ее для случая двух линз в воздухе, получаем

и для тонких линз, соприкасающихся друг с другом,

Дифференцируя формулу (11.39), находим

Заменяя в формуле (11.40) величины их значениями согласно формуле (11.37), получаем

Можно поставить задачу ахроматизации системы из двух тонких линз, соприкасающихся друг с другом.

Тогда, приравнивая величину нулю и используя формулу (11.39), находим

откуда

Величины всегда положительны; поэтому силы соприкасающихся линз должны различаться по знаку. Это означает, что в любых случаях одна из линз должна быть положительной, а другая — отрицательной.

Из формулы (11.43) следует, что

Величина может быть заменена через величину Тогда

Из формул (11.44) и (11.45) вытекает, что в случае сила первой линзы будет одного знака с суммарной силой равным образом, если то и тоже будут иметь одинаковые знаки.

Приходим к выводу, что всегда линза, обладающая большим кроновая линза, — должна иметь силу, одинаковую по знаку с силой совокупности обеих линз.

Нетрудно сделать также вывод, что кроновая линза должна иметь силу, большую по величине, чем суммарная сила обеих линз.

Поскольку в формулу (11.37) не вошли величины радиусов линзы, хроматизм тонкой линзы не должен зависеть от ее формы.

Переходя от силы тонкой линзы к ее фокусному расстоянию, получаем

или

Рис. 11.4. К определению хроматизма плоскопараллельной пластинки

Таким образом, равенство нулю определяет ахроматизацию фокусного расстояния.

Вместе с тем нетрудно себе представить, что у тонкой линзы, когда ее главные плоскости совпадают с самой линзой, должна иметь место ахроматизация главных точек.

Приходим к выводу, что у тонкой линзы должна соблюдаться ахроматизация положения и передней и задней фокальных точек, вследствие чего будет обеспечиваться устранение хроматизма положения и увеличения при произвольном положении предмета.

Перейдем к рассмотрению хроматизма плоскопараллельной пластинки.

Обращаясь к рис. 11.4, на котором представлен ход луча через плоскопараллельную пластинку толщиной можно связать положения предметной точки и ее изображения с помощью инварианта Аббе. Для первой поверхности (точки имеем

и для второй поверхности

Отсюда, помня, что получаем

или

Дифференцируем формулу (11.51) по учитывая, что положение предмета неизменно, находим

Из формулы (11.52) следует, что хроматизм положения плоскопараллельной пластинки всегда положителен и не зависит от положения предметной точки.

Хроматизм увеличения для плоскопараллельной пластинки может быть определен в линейной мере умножением формулы (11.52) на полевой угол :

и не будет зависеть ни от величины предмета, ни от его расположения.