§ 19. Условие Игнатовского

Условие синусов Аббе обеспечивает постоянство увеличения для элемента, расположенного на оси системы и изображаемого при помощи широкого пучка лучей.

В. С. Игнатовским было дано условие, при котором обеспечивается постоянство увеличения для элемента предмета, расположенного на большом расстоянии от оси и изображаемого широким пучком лучей при отсутствии аберраций.

Рис. 3.5. Главные сферы для наклонного пучка лучей

Обратимся к рис. 3.5, на котором в точке А представлен элемент предмета на расстоянии у от оси. При помощи широкого пучка лучей этот элемент изобразится без аберраций в точке А в виде элемента на расстоянии у. Лучи широкого наклонного пучка образуют в предметном пространстве углы с осью системы и по выходе из нее углы и -Обратим внимание, что при переходе от верхнего луча к нижнему углы этих лучей с осью системы уменьшаются, а в пространстве изображений, наоборот, эти углы увеличиваются по своей

абсолютной величине. Поэтому при достаточно Широких пучках лучей всегда можно найти такой луч, который будет иметь и в пространстве предметов, и в пространстве изображений углы с осью системы равные друг другу.

На этом луче могут быть найдены узловые точки для них приращению предметного угла будет соответствовать приращение угла в пространстве изображений. Для обеспечения сходимости широкого пучка лучей в точке изображающей точку необходимо, чтобы отношение элемента изображения к элементу предмета сохранялось постоянным для любых элементарных пучков, т. е.

Воспользуемся инвариантом Штраубеля

Этот инвариант можно рассматривать как дифференциальное уравнение, связывающее углы и Таким образом, можно написать

Выполняя интегрирование и подставляя пределы переменных, находим

Если принять, что углы являются текущими координатами, то формула (3.68) позволит установить ход любого из лучей широкого наклонного пучка в пространстве предметов и после его выхода из оптической системы.

Согласно рис. 3.5, величины элементов предмета и изображения могут быть выражены через отрезки от узловых точек и углы

Из формул (3.69) можно получить выражение для линейного увеличения

Подставляя это значение линейного увеличения в формулу (3.69), находим

Если величины произведений выразить -резками то формула (3.71) может быть переписана в виде

Этой формуле может быть дана следующая геометрическая интерпретация.

Проведя из точек окружности радиусами и мы видим, что произведения определяют расстояния точек пересечения лучей с построенными окружностями от прямых, параллельных оси системы и проходящих через точки предмета и изображения.

Следовательно, разности произведений для любой пары лучей в пространстве предметов и пространстве изображений всегда сохраняются равными; это позволяет рассматривать дуги построенных окружностей как главные дуги, в которых сохраняется постоянство и равенство отрезков, перпендикулярных оси системы.

Главные дуги, таким образом, позволяют построить ход любого из лучей широкого наклонного пучка, но сами точки, лежащие на главных дугах, не будут сопряженными друг другу, аналогично тому, как это имело место при рассмотрении закона синусов Аббе.