§ 65. Телеанастигматические линзы

Переходя к рассмотрению частных случаев анастигматических линз, необходимо в первую очередь рассмотреть важный случай, когда анастигматические линзы становятся афокальными, или телеанастигматическими.

Афокальность анастигматической линзы может быть достигнута путем совмещения заднего фокуса первой поверхности с передним фокусом второй поверхности, причем это должно происходить одновременно как в сагиттальной, так и в меридиональной плоскости.

Для упрощения выводов удобно воспользоваться совмещением фокусов в сагиттальной плоскости. Тогда можно написать

В соответствии с этой формулой общая формула (13.11) преобразуется:

или

откуда

Инвариант (13.15) можно представить в виде

Формула (13.16) выражает условие существования телеанастигматической линзы. Рассматривая ее, видим, что величина «увеличение» телеанастигматической линзы — всегда должна быть положительной, так как она определяется отношением квадратов синусов углов Сами же эти углы могут иметь как одинаковые, так и различные знаки. Значения всех трех показателей могут

быть теперь совершенно произвольными. Отрезки и позволяют на основании формул (13.3) и (13.4) определить радиусы

Анастигматические и телеанастигматические линзы могут быть выполнены как с показателями внешних сред, равными единице (стеклянные анастигматические линзы, расположенные в воздушной среде), так и с показателем преломления внутренней среды, равным единице (воздушные анастигматические линзы). Заметим, что в тех случаях, когда мы имеем дело со стеклянными или воздушными анастигматическими линзами, их радиусы обычно имеют одинаковые знаки.

Возвращаясь к формуле (13.16), можно отрезки выразить через отрезки

В соответствии с формулами (13.3) и (13.4) находим

Таким образом, приходим к выводу, что увеличения и в сагиттальной и меридиональной плоскостях получаются различными. Следствием этого будет деформирование выходного зрачка — причина возникновения аберрационного виньетирования.

Еще раз прибегая к формулам (13.3) и (13.4), отрезки заменим радиусами

откуда при находим

или

В качестве второго частного случая анастигматической линзы рассмотрим линзу с острым краем, для которой косая толщина становится равной нулю.

Преобразуем формулу (13.11):

или, составляя отношение отрезков

Полагая в формуле (13.22) углы равными друг другу по величине, но обратными по знаку (случай равенства углов и по величине и по знаку приводит к совмещению обеих поверхностей друг с другом и потому исключается из рассмотрения), получаем

что приводит к совмещению заднего сагиттального фокуса первой поверхности с передним сагиттальным фокусом второй поверхности, т. е. к случаю афокальности анастигматической линзы.

В качестве третьего частного случая анастигматической линзы рассмотрим случай, когда углы равны:

и вторая преломляющая поверхность является плоской.

Тогда для второй поверхности отрезок будет равен бесконечности и условие для анастигматичности (13.11) преобразуется:

или

Формула (13.26) позволяет выразить отрезок через косую толщину

или

В рассматриваемом случае нормали к сферической и плоской поверхностям получаются параллельными; поэтому ось такой линзы будет совпадать с нормалью к сферической поверхности в точке преломления главного луча, т. е. зрачок входа такой системы будет совпадать с первой сферической поверхностью.

Формулу (13.28) можно представить также и в виде

Полагая в этой формуле и получаем

Задавая для малых углов показатель преломления находим и в результате получаем положительную линзу выпукло-плоской формы с толщиной, превышающей последний отрезок (рис. 13.2).

В качестве четвертого случая рассмотрим равенство угла нулю (случай, когда угол будет равен нулю, отбрасываем, так как тогда левая часть формулы (13.11) станет равной нулю, вследствие чего это условие может быть соблюдено лишь при равенстве нулю и углов случай концентричности или случай хода луча вдоль оси системы).

Рис. 13.2. Анастигматическая линза с плоской поверхностью

Тогда формула (13.11) принимает следующий вид:

В этой формуле отрезок согласно формуле (13.4), может быть выражен через радиус второй поверхности а разность отрезка и косой толщины будет равна отрезку

Таким образом, формула (13.31) может быть переписана:

или

Рис. 13.3. Аплаиатическая поверхность

Отрезок вдоль луча от точки преломления до апланатической точки для апланатической поверхности может быть выражен через [радиус, показатели преломления и углы

Обращаясь к рис. 13.3, на котором изображен ход луча через апланатическую точку А, отрезок можно представить как сумму проекций на луч радиуса и расстояния от центра поверхности С до апланатической точки А, равного

Таким образом, отрезок для апланатической поверхности получается равным

Сопоставляя формулу (13.34) с формулой (13.33), нетрудно показать, что обе формулы тождественны друг другу. Поэтому можно сделать вывод, что равенство угла нулю позволяет получить устранение астигматизма лишь в том случае, когда вторая поверхность будет работать как апланатическая. Таким образом, рассмотренный нами четвертый случай привел к случаю изопланатической системы.