§ 79. Общий интеграл несферической поверхности

Использование несферических поверхностей в оптических системах большей частью сводится к переходу от сферических поверхностей к поверхностям, профили которых определяются кривыми второго порядка — эллипсами, параболами или гиперболами.

Иногда используют и другие виды профилей — по усложненным уравнениям кривых второго порядка с включением дополнительных членов высших степеней или по уравнениям параболических кривых высшего порядка.

Во всех этих случаях характер кривых, выражающих профили несферических поверхностей, будет предопределен заранее, причем предопределение характера профиля является случайным, хотя иногда и приводит к строгому устранению некоторых аберраций.

Можно наметить путь непосредственного определения профиля несферической поверхности в общем виде, когда по заданному ходу лучей после преломляющей поверхности находится ее профиль.

Решение подобной задачи возможно при помощи интегральных методов вычисления профилей несферических поверхностей.

Преломление лучей через несферическук) поверхность Завйсйт от направления нормалей к профилю поверхности в точках встречи лучей с нею.

Так как направления нормалей связаны с величинами первых производных от профиля поверхности, то кроме определения точек встречи лучей с поверхностью (совместного решения системы линейных уравнений, определяющих ход лучей, и уравнения профиля поверхности) приходится иметь дело и с уравнениями нормалей, что приводит к некоторому дифференциальному уравнению.

Переходя непосредственно к выводам, обратимся к рис. 15.6, на котором представлен профиль несферической поверхности разделяющей две среды с показателями

Рис. 15.6. К выводу общего интеграла несферической поверхности

Полагая ось поверхности совпадающей с осью абсцисс, зададим профиль поверхности в полярной форме уравнением

где радиус-вектор, полярный угол, составляемый радиус-вектором с осью абсцисс. Пусть падающий луч, проходящий через точку А, образует на расстоянии от вершины поверхности угол ; расстояние точки А от начала координат обозначим через согласно рис. 15.6, это расстояние может быть выражено формулой

где радиус-вектор для вершины поверхности.

Угол нормали с осью обозначим через Согласно формуле (14.23), тангенс угла будет равен

откуда

или

что

Интегрируя полуденное дифференциальное уравнение, Находим

откуда

Полагая определяем произвольную постоянную С:

и тогда формула (15.73) преобразуется:

Полученное уравнение и является уравнением профиля несферической поверхности в самом общем виде.

Возвратимся к рис. 15.6. Обозначим угол между лучом и радиус-вектором через а и угол луча с нормалью через Тогда

В частном случае при когда падающий луч проходит через начало координат, угол а становится равным нулю. Таким образом,

Это позволяет переписать формулу (15.75) в виде

Тангенс угла выражается формулой

Формула (15.79) позволяет заменить угол в формуле (15.78) через углы Находим

Преобразуем подынтегральную функцию

Деля числитель и знаменатель этой формулы на находим

и тогда формула (15.80) может быть представлена в виде

Продемонстрируем применение полученных формул на некоторых примерах.

Пример 1. Поставим задачу нахождения профиля поверхности, осуществляющей преобразование расходящегося гомоцентрического пучка лучей в параллельный пучок.

Данный случай может быть охарактеризован равенством угла в формуле (15.83) нулю. Тогда эта формула преобразуется:

или, при умножении числителя и знаменателя подынтегральной функции на

После интегрирования это дает

откуда

Постоянную интегрирования С определим из условия

это позволяет записать формулу (15.87) в виде

или

Перейдем к прямоугольным координатам. Обращаясь к рис. 15.7, на котором представлено преобразование на несферической поверхности гомоцентрического пучка лучей в параллельный, видим, что прямоугольные координаты некоторой точки профиля выразятся как

Возводя в квадрат и складывая, получаем

что позволяет представить формулу (15.90) в виде

или

избавляясь от иррациональности, получаем

Рис. 15.7. Образование параллельного пучка лучей

Величина в рассматриваемом случае играет роль отрезка до переднего фокуса Поэтому

что позволяет привести формулу (15.95) к виду

Из формулы (15.97) следует, что полученный профиль несферической поверхности будет являться кривой второго порядка.

Перенося начало координат в вершину поверхности, следовательно, полагая, что

находим

и окончательно

т. e. полученное нами ранее уравнение гиперболы [формула

Пример 2. Рассмотрим случай постоянства отношения тангенсов углов и т. е. постоянства реального углового увеличения Это условие может быть записано в виде

и тогда формула (15.83) преобразуется:

Прибегая к подстановке

интеграл в формуле (15.102) приводим к виду

Полученный интеграл может быть проинтегрирован в элементарных функциях.

Если задать увеличение и отношение показателей преломления то выражение (15.104) преобразуется:

Выполнив интегрирование, найдем

или

Очевидно, что полученное выражение есть уравнение плоскости, перпендикулярной оси, т. е. уравнение плоского зеркала, заданное в полярных координатах.

Заметим, что интегральные методы определения профиля несферической поверхности не требуют обязательного получения уравнения профиля: при численном интегрировании можно получить профиль в табличной форме, т. е. в виде совокупности численных координат его точек.