§ 39. Кома

Переходя к рассмотрению комы, у которой, как и у астигматизма, существуют два независимых друг от друга коэффициента и целесообразно проследить вначале возможный характер изменения обоих коэффициентов по полю зрения.

Рис. 8.6. Возможные случаи комы

С этой целью построим график изменения коэффициентов комы в зависимости от полевого угла или величины изображения (рис. 8.6).

Штриховой линией показано изменение коэффициента а сплошной линией — коэффициента

В окрестности около оси системы обе кривые предполагаются совпадающими друг с другом; это объясняется тем, что в этой области существует лишь один независимый коэффициент комы, через который выражается и меридиональная и сагиттальная кома. Рассматривая график изменения комы по полю зрения, нетрудно представить себе, что обе кривые для обоих коэффициентов могут пересечь ось ординат в разных точках; поэтому могут существовать раздельно два случая, когда каждый из коэффициентов комы будет по отдельности равен нулю.

Между этими двумя точками коэффициенты комы будут иметь разные знаки и могут иметь разные соотношения; до и после точек равенства нулю одного и другого коэффициентов комы они будут иметь одинаковые знаки и тоже могут иметь любые соотношения.

Это позволяет выделить следующие характерные случаи комы:

Напишем общее выражение для волновой комы:

В этой формуле апертурный угол входящий в оба члена разложения, может быть вынесен за общую скобку; поэтому при волновая аберрация также становится равной нулю вдоль оси сагиттального волнового фронта.

Второй множитель при коэффициентах одного и того же знака не обращается в нуль ни при каких значениях кроме их одновременного равенства нулю.

Наоборот, если коэффициенты и имеют разные знаки, то двучлен в скобках может быть разложен на два множителя первой степени

Приравнивая их нулю, получаем два линейных уравнения, выражающих две прямые, пересекающиеся друг с другом в начале координат, вдоль которых волновая аберрация становится равной нулю.

Перейдем к рассмотрению намеченных случаев.

1-й случай:

Напишем общее выражение для волновой аберрации:

Полагая находим, что вдоль меридионального волнового фронта волновая аберрация будет изменяться по уравнению третьей степени относительно угла т. е. будет являться параболой третьей степени.

Точки кривых равных волновых аберраций легко определяются из уравнения

Из этого уравнения видно, что при заданном значении углы будут иметь наибольшую величину, когда кроме того, кривые равных волновых аберраций при уменьшении будут приближаться к оси абсцисс как к асимптоте.

Дифференцируя выражение для волновой аберрации в частных производных, получаем величины поперечных аберраций

Заменяя апертурные углы через полярные координаты находим:

При переходе к тригонометрическим функциям двойного угла у формулы (8.18) преобразуются:

Формулы (8.19) выражают окружность со смещением центра, равным и радиусом равным

При однократном обходе лучом по контуру выходного зрачка полученная окружность на фигуре рассеяния будет обойдена лучом дважды. Кроме того, по мере уменьшения угла радиус данной окружности фигуры рассеяния будет уменьшаться по квадратичному закону и по тому же закону будет уменьшаться смещение центра двойной окружности.

Семейство двойных окружностей будет обладать общими касательными, проходящими через начало координат и составляющими с осью ординат углы по 30°.

Картина волновых аберраций и фигура рассеяния для этого случая комы представлены на рис. 8.7.

2-й случай:

Выражение Для волновой аберрации принимает следующий вид:

Из формулы (8.20) следует, что волновая аберрация будет равна нулю при равенстве нулю либо апертурного угла либо угла таким образом, волновая аберрация вдоль обоих волновых фронтов будет равной нулю. Однако если оба апертурных угла не будут равны нулю, то и волновая аберрация тоже не будет равна нулю.

Задавая волновой аберрации те или иные значения, будем получать кривые равных волновых аберраций, которые можно представить в виде

Из формулы (8.21) следует, что при изменении знака у апертурного угла должно происходить изменение знака и у волновой аберрации.

Рис. 8.7. Кома при коэффициентах

Характер кривых равных волновых аберраций будет напоминать характер равнобочных гипербол: кривые равных волновых аберраций будут иметь своими асимптотами координатные оси; но эти кривые будут ближе примыкать к оси абсцисс, нежели к оси ординат.

Рис. 8.8. Кома при коэффициентах

Переходя к поперечным аберрациям, получаем:

Рассматривая выражения (8.22), видим, что фигура рассеяния будет получаться в виде эллипса с большой полуосью, равной направленной параллельно оси абсцисс на расстоянии от нее малая полуось эллипса тоже будет равна таким образом, эллипс фигуры рассеяния будет касаться оси абсцисс. При однократном обходе лучом по контуру зрачка выхода эллипс будет обегаться лучом дважды; кроме того, эллипс будет расположен с той же стороны от оси абсцисс, что и двойные окружности, рассмотренные в предыдущем случае.

Картина волновых аберраций и фигура рассеяния для этого вида комы представлены на рис. 8.8.

В случае уменьшения апертурного угла все эллипсы при уменьшении своих полуосей по-прежнему будут касательными к оси абсцисс. Поэтому угол между касательными, проведенными к элипсам из начала координат, можно считать равным 180°.

3-й случай.

Выражение для волновой аберрации принимает вид

и картина постоянных значений волновых аберраций представится в виде семейства прямых линий, параллельных оси абсцисс, напоминая картину астигматизма при равенстве коэффициента нулю; однако картина комы будет отличаться от картины астигматизма тем, что знаки волновой аберрации по обе стороны от сагиттального волнового фронта будут разными, тогда как для картины астигматизма они были одинаковыми.

Вдоль меридионального волнового фронта волновая аберрация для комы будет выражаться параболой третьей степени, тогда как для астигматизма она выражалась параболой второй степени.

Дифференцируя формулу (8.23), получаем поперечные аберрации для комы:

Как следует из формулы (8.24), фигура рассеяния для этого случая комы преобразуется в отрезок прямой, расположенный вдоль оси по одну сторону от начала координат — главного луча; при обходе по контуру зрачка луч будет пробегать этот отрезок четыре раза.

По внешнему виду фигура рассеяния для такой комы будет напоминать фигуру рассеяния для астигматизма; однако при уменьшении величины апертурного угла отрезки, выражающие кому, все время будут одним концом совпадать с началом координат; поэтому отрезок, выражающий кому, будет более освещенным вблизи начала координат. Кроме того, осуществляя перефокусировку, мы не сможем отыскать для комы фигуры рассеяния в виде отрезка в сагиттальном направлении, как это имело место для астигматизма.

Картина волновых аберраций и фигура рассеяния для этого вида комы представлены на рис. 8.9.

4-й случай:

Выше уже указывалось, что при разных знаках у коэффициентов комы ее общее выражение распадается на три множителя первой степени; каждый из них определяет прямую, проходящую через начало координат; вдоль этих прямых волновые аберрации будут получаться равными нулю.

Рис. 8.9. Кома при коэффициентах

Одной из прямых явится, как и ранее, направление оси абсцисс; две другие прямые составят между собой и осью ординат углы, тангенсы которых, согласно формуле (8.14), будут равными

Особый интерес представляет случай, когда углы между всеми тремя направлениями, вдоль которых волновые аберрации получаются равными нулю, составят 60°.

Этому случаю соответствует условие т. е.

Отсюда соотношение коэффициентов и выразится как

При соблюдении соотношения (8.27) выражение для волновой аберрации принимает вид

Картина волновых аберраций представляет собой шесть секторов; внутри них располагаются кривые равных волновых аберраций, являющиеся гиперболами с асимптотами, вдоль которых

волновые аберрации становятся равными нулю. Знаки волновой аберрации будут чередоваться в соседних секторах.

Дифференцируя формулу (8.28), получим выражения для поперечных аберраций:

Из формул (8.29) видно, что фигурой рассеяния для комы в рассматриваемом случае явится окружность с центром в начале координат; при обходе лучом по контуру зрачка окружность фигуры рассеяния будет обегаться дважды и направление движения обегающего луча будет противоположным его направлению вдоль контура зрачка.

Рис. 8.10. Кома при коэффициентах

При уменьшении апертурного угла двойные окружности сохранят положение своих центров в начале координат; поэтому вся фигура рассеяния в целом сохранит свою центрированность вокруг главного луча, напоминая картину простой расфокусировки. Однако эта картина в сочетании с расфокусировкой потеряет свою центрированность.

Картина волновых аберраций и фигура рассеяния для этого случая представлены на рис. 8.10.

5-й случай

Такой случай должен быть расположен между случаями. Сопоставляя их, нетрудно себе представить, что кривые волновых аберраций должны будут по отношению к случаю простой комы постепенно распрямляться, а окружности в фигуре рассеяния переходить в эллипсы с большой осью, совпадающей с осью ординат.

Картина” волновых аберраций для отношения представлена на рис. 8.11.

6-й случай

Рис. 8.11. Кома при коэффициентах

Кривые равных волновых аберраций вдоль меридионального волнового фронта будут отходить дальше от оси абсцисс, нежели для случая простой комы; фигура рассеяния представится в виде эллипсов, большая ось которых будет направлена параллельно оси абсцисс, и сами эллипсы будут приближаться к этой оси.

Рис. 8.12. Кома при коэффициентах

Картина волновых аберраций и фигура рассеяния для этого случая при отношении представлены на рис. 8.12,