§ 75. Плоскопараболическая линза
Сферическая аберрация и астигматизм плоскопараболической линзы уже были рассмотрены выше. Рассмотрим дисторсию плоскопараболической линзы.
Рис. 14.7. К определению дисторсии плоскопараболической лиизы
Для этой цели воспользуемся рис. 14.7, на котором представлен ход главного луча, выходящего из линзы параллельно оси и образующего изображение у, равное расстоянию у от оси 
до точки 
преломления луча на параболической поверхности.
Показатель преломления линзы 
примем равным 
предположим, что сама линза размещена в воздушной среде.
Входной полевой угол обозначим через 
угол после преломления главного луча на плоской поверхности через 
величину неискаженного изображения через 
и угол, образованный с осью системы нормалью к параболической поверхности в точке преломления луча, — через 
Для такой параболической поверхности угол 
должен быть равен углу 
; поэтому, согласно формуле (14.55), можно написать
Согласно рис. 14.7, угол 
может быть связан с углами 
следующим образом:
и, значит, угол 
будет равен
Синус входного угла 
согласно закону преломления, получится равным
Величина неискаженного изображения 
определится произведением
Составляя разность величин 
находим величину дисторсии
и, переходя к относительной дисторсии,
При постоянных 
величина изображения у остается неизменной; величина же 
будет изменяться в зависимости от изменения 
Изменяя показатель преломления 
при постоянном — 
можно определить угол 
затем угол 
и через него входной угол 
пользуясь формулой (14.99), найти величину относительной дисторсии.
Зависимость дисторсии плоскопараболической линзы от угла 
при различных значениях показателей преломления приведена в табл. 14.1. Данные, приведенные в таблице, показывают, что плоскопараболическая линза при значительных полях зрения обладает сравнительно небольшой дисторсией, имеющей тенденцию при уменьшении показателей преломления увеличиваться в направлении положительных значений.
Таблица 14.1 (см. скан)
Для более полной оценки возможностей плоскопараболической линзы целесообразно иметь представление о ее меридиональной коме.
Однако выведенный нами в § 15 инвариант меридиональной комы не может быть использован непосредственно, так как при его выводе величина радиуса преломляющей поверхности была принята постоянной, тогда как у параболической поверхности 
- ридиональный радиус кривизны есть величина переменная.
Это обстоятельство несколько усложняет поставленную задачу, однако, исходя из частного случая определения комы в фокальной точке и полагая предметную точку расположенной в бесконечности, можно ее несколько упростить.
Используя формулы (3.6) и (3.8), напишем
Далее, дифференцируя логарифмически меридиональный инвариант, величину меридионального радиуса уже не будем полагать постоянной. Поэтому получим
откуда
Дифференцируя выражение закона преломления, найдем
Тогда
или
Для параболической поверхности меридиональный радиус кривизны 
может быть выражен через радиус кривизны 
в вершине параболы:
после дифференцирования получаем
что позволяет формулу (14.105) представить в виде
Возвращаясь к формуле (14.100), находим
но, согласно формуле (3.19), отношение 
может быть выражено через угловые величины, и тогда
Для устранения астигматизма необходимо, чтобы
поэтому радиус комы становится равным
для обоих анастигматических зрачков. Корень 
соответствует случаю телецентрического хода луча в пространстве изображений.
Знаки радиусов комы в обоих случаях различны. При показателе преломления 
кома во втором случае получается почти в три раза меньшей, чем в первом случае.
Заметим, что при переходе от одного положения анастигматического зрачка к другому кома плоскопараболической линзы переходит через нулевое значение.
