§ 60. Изменение сферической аберрации концентрической системы при изменении положения предмета

В § 21 была рассмотрена картина изменения сферической аберрации для одной преломляющей поверхности при изменении положения предмета. Подобная же задача может быть решена и для системы из нескольких концентрических поверхностей.

Рис. 12.2. Ход луча через систему из концентрических поверхностей

Для рассмотрения этого вопроса обратимся к рис. 12.2, на котором представлены концентрическая система, расположенная в воздухе, и ход входящего и выходящего лучей.

Согласно выводам, полученным в предыдущем параграфе, эти два луча должны отстоять от общего центра концентрической системы на одно и то же расстояние, равное а. Продолжим входящий и выходящий лучи до их пересечения друг с другом в некоторой точке

Если осуществить вращение плоскости рисунка вокруг прямой как оси, то будут образованы два пучка лучей, лежащих в сагиттальной плоскости и совпадающих своими вершинами с точкой

Лучи в этих двух пучках образуют равные углы в сагиттальной плоскости; это дает основание рассматривать точку как две совмещенные друг с другом узловые точки предметного пространства и пространства изображений с угловым увеличением, равным единице.

Так как предполагалось, что концентрическая система расположена в воздухе, то эти узловые точки должны совпадать с главными сагиттальными точками и обладать увеличением равным единице.

Точки пересечения лучей с осью системы в предметном пространстве и пространстве изображений можно рассматривать как сопряженные точки в сагиттальной плоскости.

Для таких точек, согласно формуле (1.45), линейное увеличение должно быть равно

где апертурные углы, образованные рассматриваемыми лучами с осью до и после концентрической системы.

Зная увеличение и величины отрезков определяющиеся равенствами:

можно получить сагиттальные фокусные расстояния:

откуда

Если положить предметную точку удаленной в бесконечность, то точка изображения совпадет с задним сагиттальным фокусом и сагиттальное заднее фокусное расстояние получится равным

Нетрудно представить себе, что для этого случая угол должен обратиться в нуль, и тогда входящий в систему луч станет параллельным новой оси, проходящей через точки а угол перейдет в угол который должен быть равным разности углов:

Поворачивая рисунок вокруг прямой, проходящей через точку С перпендикулярно новой оси, на некоторый угол образуем элементарное изображение равное произведению фокусного расстояния и того же угла; с другой стороны, это элементарное изображение должно быть равно произведению отрезка и того же угла Это позволяет сделать вывод, что отрезок должен быть равен фокусному расстоянию

Концентрическая система может обладать некоторой сферической аберрацией равной расстоянию между точками вдоль оси системы. Ее величина может быть выражена формулой

Равенства приводят к образованию двух равнобедренных треугольников с углами при вершинах равными

Точки образуют два подобных треугольника с внешними углами при вершинах равными и с внутренними углами и

Основания этих треугольников могут быть определены как суммы проекций отрезков на ось:

Отрезки могут быть выражены через увеличение и фокусные расстояния:

При использовании формулы (12.23) отрезки преобразуются:

что позволяет исключить их из формулы (12.30).

Находим

Равным образом может быть получена и формула для отрезка

Пользуясь формулой (12.28), можно выразить угол через углы

и тогда синус угла будет равен

Синусы углов можно связать, пользуясь формулами

Деля формулу (12.37) на находим

Возводя формулу (12.38) в квадрат, имеем

или,

Решая это уравнение относительно находим

откуда величина отрезка получается равной

Полагая угол равным нулю, находим величину отрезка

Разность отрезков составит величину сферической аберрации для концентрической системы

Формула (12.44) и выражает зависимость сферической аберрации от положения предмета, определяемого величиной отрезка В случае равенства отрезка бесконечности формула (12.44) переходит в формулу (12.29).