Часть 4. ЭЛЕМЕНТЫ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Глава 12. КОНЦЕНТРИЧЕСКИЕ И АПЛАНАТИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ

§ 59. Сила концентрической линзы. Хроматизм концентрической линзы. Мениск Максутова

Условие концентричности отдельной линзы в воздухе определяется равенством ее толщины разности радиусов:

Подставляя это значение толщины в формулу (11.34) для силы толстой линзы, получаем

откуда

Логарифмируя формулу (12.3) и дифференцируя по показателю, находим

Формула (12.4) определяет хроматизм концентрической линзы, который получается в раз меньше, чем для тонкой линзы той же оптической силы.

Обращаясь к формуле (12.3), видим, что в случае, когда радиусы концентрической линзы имеют разные знаки, ее сила положительна. Если же оба радиуса имеют одинаковые знаки, то концентрическая линза станет концентрическим мениском и ее сила получится отрицательной.

Можно рассмотреть случай, когда радиусы толстой линзы будут равны друг другу; тогда первый член в формуле (11.34) обратится в нули сила мениска с равными радиусами выразится формулой

и будет всегда положительной.

Логарифмируя и дифференцируя формулу (12.5) по показателю преломления, определим величину хроматизма мениска с равными радиусами:

Существенно, что хроматизм такого мениска получается больше, чем у тонкой линзы.

Сопоставляя концентрический мениск и мениск с равными радиусами, видим, что при переходе от одного к другому и сила мениска и хроматизм переходят через нуль, только не одновременно.

Д. Д. Максутов обратил внимание на такой переход и поставил задачу получения мениска с исправленным хроматизмом.

Для решения такой задачи продифференцируем общее выражение для силы толстой линзы в воздухе:

Вынося за общую скобку получаем

или

Для ахроматизации приравнивая находим

откуда при заданных значениях получаем толщину мениска

Максутова

Подставляя это значение толщины в общую формулу (11.34) для силы толстой линзы в воздухе, находим

и после сокращений

Формулы (12.11) и (12.13) позволяют определять все величины, характеризующие мениск Максутова.

Если оба радиуса у мениска Максутова имеют одинаковые знаки, то согласно формуле (12.11) для получения положительной толщины необходимо, чтобы при положительных радиусах соблюдалось неравенство а при отрицательных радиусах неравенство по абсолютной величине.

В обоих случаях разность будет получаться отрицательной, поэтому сила мениска Максутова всегда будет отрицательной. Как отрицательная линза, мениск Максутова будет обладать положительной сферической аберрацией. Это позволяет использовать его как коррекционный элемент для исправления отрицательной сферической аберрации, присущей положительным линзам и вогнутым сферическим зеркалам.

Отметим ряд свойств мениска Максутова.

1. Мениск свободен от хроматизма положения в широком участке спектра и может рассматриваться как оптическая система, имеющая апохроматическую коррекцию.

2. Он обладает небольшой отрицательной оптической силой и положительной сферической аберрацией.

Изменяя отношение радиусов и соответственно изменяя толщину мениска, можно варьировать величину сферической аберрации при сохранении силы мениска неизменной.

3. Составляя на основании формулы (12.10) равенство

получаем, что расстояние между центрами обеих поверхностей мениска будет невелико; поэтому, размещая материальную диафрагму вблизи центров, будем получать небольшую величину для астигматизма и комы.

Все это позволяет рассматривать мениск Максутова как коррекционный элемент, позволяющий корригировать отрицательную сферическую аберрацию, не затрагивая исправления других аберраций оптической системы.

Основной трудностью при изготовлении мениска Максутова, как и других концентрических линз, является обеспечение хорошей взаимной центрировки мениска по отношению к его наружному диаметру.

Заметим, что положительная толщина, согласно формуле (12.11), может быть получена и при разных знаках у обоих радиусов; так, при положительном значении радиуса радиус может быть отрицательным. В подобном случае линза, свободная от хроматизма, уже не будет иметь менискообразной формы и ее сила сделается положительной, а сферическая аберрация отрицательной.

Возвращаясь к рассмотрению концентрической линзы или системы концентрических линз, обратим внимание на то обстоятельство, что любой луч, вошедший по нормали к первой поверхности, выйдет по нормали ко второй или к последней поверхности, не изменяя своего направления. Поэтому для таких лучей будет сохраняться равенство углового увеличения единице.

Если система будет расположена в одной и той же среде, например в воздухе, то тогда и линейное увеличение окажется равным единице.

Таким образом, общий центр поверхностей концентрической линзы или системы концентрических поверхностей может рассматриваться в общем случае как совмещенные узловые точки или как главные точки, если система располагается в одной и той же среде.

Опираясь на это общее свойство концентрических линз, нетрудно получить выражение для оптической силы любого числа концентрических поверхностей.

Рассматривая концентрические системы как совокупность нескольких концентрических линз, совмещенных друг с другом, получаем, что их общая оптическая сила будет равна сумме составляющих сил:

Силу каждой из составляющих сил можно представить в виде

Суммируя силы двух смежных линз, можно предположить, что первый радиус последующей линзы будет равен второму радиусу предыдущей линзы. Тогда две такие линзы могут быть склеены друг с другом, причем образуется сила пары склеенных концентрических линз. В соответствии с этим можно написать

или

Развивая суммирование от до получаем выражение для силы системы из концентрических поверхностей:

Заметим, что формула (12.19) известна как выражение для радиуса Петцваля в области аберраций третьего порядка.

Рассмотрим коцентрическую систему, составленную из нескольких поверхностей, разделенных средами с различными показателями преломления. Предположим, однако, что первая и последняя среды будут одинаковыми.

Рис. 12.1. К определению сферической аберрации концентрической системы

Подобная система представлена на рис. 12.1, где показан ход луча, пересекающего ось в некоторой точке за пределами рисунка и испытывающего преломление на всех поверхностях системы в точках

Общий центр всех поверхностей системы обозначим точкой С и опустим из него перпендикуляры на направление отрезков рассматриваемого луча во всех средах, разделяемых поверхностями системы.

Радиусы поверхностей обозначим через а углы падения и преломления луча — через

Тогда величины всех перпендикуляров можно выразить через радиусы и углы :

Умножая первое из этих выражений на показатель преломления второе — на получим

и если то должно иметь место равенство

Очевидно, что система из любого числа концентрических поверхностей, разделенных любыми средами, но находящаяся в одной и той же среде, например в воздухе, будет обладать тем свойством, что расстояние от центра этой системы до входящего в нее луча должно быть равно расстоянию от этого же центра до луча, выходящего из системы.

Обращая подобную систему (т. е. последовательно заменяя первые радиусы, толщины и показатели преломления на последние и т. д. с соответствующим изменением знаков у радиусов на обратные) и сохраняя постоянным относительно центра системы ход входящего в нее луча, мы полностью сохраним и ход луча, выходящего из системы.

Так как не намечалось никаких ограничений для луча, входившего в концентрическую систему, то это свойство обратимости концентрической системы будет сохраняться для любого луча вплоть до момента, с которого прохождение луча через систему станет невозможным.