Глава 4. СФЕРИЧЕСКАЯ АБЕРРАЦИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ПРЕЛОМЛЯЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ

§ 20. Граничные значения сферической аберрации

Простейшим элементом любой оптической системы является преломляющая сферическая поверхность, поэтому ознакомиться с особенностями работы сферической поверхности совершенно необходимо.

Для произвольного хода луча через сферическую поверхность получается очень сложная зависимость и потому нередко ограничиваются рассмотрением приближенных зависимостей, справедливых лишь в узкой области вблизи оптической оси, т. е. в так называемой области аберраций третьего порядка.

Однако такие приближенные зависимости дают значительные расхождения с ходом действительных лучей, что существенно мешает получению правильного представления о работе оптической системы и, в частности, о работе даже одной преломляющей поверхности. Поэтому представляется необходимым установить для некоторых частных случаев зависимости точные.

Установление точных зависимостей целесообразно еще и потому, что существует несколько положений предметной точки, когда ее изображение, создаваемое сферической поверхностью, получается свободным от сферической аберрации.

Одним из таких положений предметной точки является ее расположение в апланатической точке, как это было рассмотрено в § 13.

Двумя другими положениями предметной точки, когда она изображается без аберраций, является расположение ее в центре преломляющей поверхности и в вершине поверхности. В обоих случаях также соблюдается и условие синусов. Таким образом, во всех трех случаях наблюдается отсутствие сферической аберрации и нарушения условия синусов.

Рис. 4.1. К определению сферической аберрации

Для всех других положений предметной точки будет наблюдаться сферическая аберрация; в частном случае, когда предметная точка располагается в бесконечности, можно получить не слишком сложное выражение для сферической аберрации. Обратимся к рис. 4.1, на котором представлено преломление луча, идущего параллельно оси системы, на сферической преломляющей поверхности.

Получим величину синуса угла падения;

Синус угла преломления может быть получен согласно закону преломления:

Величина выходного апертурного угла получается равной разности углов падения и преломления:

Пользуясь рисунком, нетрудно получить выражение для отрезка

или

Согласно закону преломления,

В случае, если углы малы, величина переходит в вели чину для пучка лучей вблизи оси системы:

Составляя разность отрезков получим величину продольной сферической аберрации

Выражая косинусы углов через отношения высоты к радиусу кривизны поверхности находим после некоторых преобразований

Формула (4.9) показывает, что само существование сферической аберрации, как функции от высоты луча ограничено; эти ограничения выражаются равенствами:

Первое из равенств обусловлено возможностью встречи луча с преломляющей поверхностью; второе определяется возникновением полного внутреннего отражения.

Таким образом, можно определить значения граничной сферической аберрации:

Для удобства сопоставления величину целесообразно оценивать по ее отношению к вершинному отрезку Величина этого отрезка будет равна

Деля формулу (4.9) на (4.12), получаем

Для малых высот можно сделать разложение в ряд корней из

Первый член этого разложения характеризует величину сферической аберрации третьего порядка:

Величина действительной сферической аберрации зависит не только от высоты но и от показателей преломления

Учитывая, что за последние годы оптическое стекловарение дало ряд новых марок оптического стекла с более высокими показателями преломления, приближающимися к двум для сверхтяжелых кронов и уже превосходящими эту величину для сверхтяжелых флинтов, и принимая во внимание наличие оптических кристаллов с еще более высокими показателями преломления (в инфракрасной части спектра показатели преломления превосходят три, а для германия достигают даже четырех), целесообразно оценивать величину сферической аберрации (а также и других аберраций), используя и большие показатели преломления.

В табл. 4.1 приведены значения граничной сферической аберрации в случае преломления на сферической поверхности из

Таблица 4.1 (см. скан)

стекла в воздух в диапазоне показателей преломления для предметной точки, расположенной в бесконечности. Таблица составлена для значений Сводные графики продольной сферической аберрации, приведенные в табл. 4.1, представлены на рис. 4.2.

Рассматривая табл. 4.1 и графики аберраций, видим, что величина граничной сферической аберрации при всех рассмотренных показателях преломления сохраняется более или менее одинаковой, несмотря на значительный рост высот, связанный с ростом значений радиусов кривизны.

Рис. 4.2. Сферическая аберрация при преломлении из стекла в воздух

Рис. 4.3. Сферическая аберрация при преломлении из воздуха в стекло

Заметим, что наиболее быстрый прирост высоты наблюдается при переходе значения показателя преломления от 1,5 к 3,0; так, в этом интервале граничная высота возрастает вдвое. При дальнейшем повышении показателя преломления рост граничной высоты несколько замедляется.

Для сопоставления в нижней строке табл. 4.1 приведены значения сферической аберрации вычисленные по приближенной формуле для сферической аберрации третьего порядка. Существенно, что для всех выбранных в таблице высот величина сферической аберрации третьего порядка получается при всех показателях преломления одинаковой и существенно меньшей, чем величины реальной сферической аберрации. Заметим, что показатель преломления 1,1, введенный в табл. 4.1, можно рассматривать как отношение показателей преломления по обе стороны склеенной поверхности.

Аналогично табл. 4.1 составлена табл. 4.2 и на рис. 4.3 построены графики аберраций для случая преломления из воздушной среды в стекло; при этом величины сферической аберрации получаются значительно меньшими, хотя граничные значения

высот, определяемые лишь встречей луча с преломляющей поверхностью — равенством высоты радиусу будут сохраняться такими же, как и в случае преломления из стекла в воздух.

Таблица 4.2 (см. скан)