Глава 10. ОБРАЗОВАНИЕ ДИФРАКЦИОННОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ И ЧАСТОТНО-КОНТРАСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

§ 47. Распределение энергии в пространстве

Знание величин волновых аберраций еще не является исчерпы вающим критерием оценки качества изображения; более полное представление о качестве изображения можно получить по картине распределения световой энергии в плоскости изображения при точечном источнике света в предметном пространстве. Эта картина не может быть получена без учета волновой природы света, проявляющейся в интерференционных явлениях, связанных с расположением рассматриваемых точек в пространстве изображений.

Картина распределения световой энергии в изображении точки с учетом интерференции связана также с величиной и формой отверстия, ограничивающего световые пучки, доходящие до изображения; такую картину называют дифракционным изображением.

Совершенно очевидно, что дифракция должна быть связана с длинами волн, величиной волновых аберраций и величиной амплитуд в различных частях пучка лучей, образующих изображение.

Обращаясь к общей теории образования изображения, напишем, согласно принципу Гюйгенса, выражение для светового возмущения в некоторой произвольно расположенной в просторанстве точке вызываемого точечным источником света (рис. 10.1):

Выражение (10.1) справедливо для малого отверстия произвольной формы. Здесь расстояния от источника света и точки до некоторой точки отверстия произвольной формы с площадью, равной элементарный участок этого отверстия; углы между нормалью к этому отверстию и

направлениями из точки на точки текущая координата — время; период колебания; длина световой волны; А — коэффициент, зависящий от свойств источника света.

Можно сделать предположение, что точка расположена таким образом, что световая волна сходится к источнику света (это не отражено на рис. 10.1; данный случай может быть охарактеризован как случай равенства увеличения в точках единице).

Тогда отрезки вследствие изменения распространения света от точки к точке и от точки к точке будут иметь разные знаки. Поэтому сумма отрезков под знаком интеграла приведется к их разности — волновой аберрации

В случае если углы малы, то оба косинуса этих углов становятся равными единице и вследствие диаметральной разницы в направлениях числитель дроби перед интегралом становится равным двум.

Рис. 10.1. К рассмотрению дифракции от отверстия

Произведение же в знаменателе может быть выражено через квадрат этого расстояния (из-за малой разницы этих величин).

Таким образом, формула (10.1) примет следующий вид:

Развертывая выражение для синуса под знаком интеграла, формулу (10.2) можно представить в виде суммы двух интегралов:

Введя обозначения:

определяем освещенность в рассматриваемой точке

как квадрат амплитуды выраженной формулой (10.3).

В формуле (10.2) и далее световые возмущения рассматривались для площади дифрагирующего отверстия; в некоторых случаях удобнее пользоваться вместо площади отверстия величиной телесного угла построенного на отверстии и имеющего вершину в точке

Деля элемент площади дифрагирующего отверстия на квадрат расстояния до точки образуем элементарный телесный угол тогда интеграл в формуле (10.2) преобразуется:

Равным образом преобразуются и формулы (10.4):

Используя формулы (10.6) и (10.7), получаем выражение для освещенности

Волновую аберрацию можно представить в виде функции апертурных углов и ; дифференциал телесного угла может быть получен как произведение дифференциалов апертурных углов

Переходя к апертурным углам, интегралы в формулах (10.7) преобразуем в двойные интегралы:

Эти формулы можно выразить также в системе полярных координат:

Формулы (10.9) и (10.10) дают общую картину распределения световой энергии в окрестности точки так как изменения волновой аберрации можно рассматривать в частном случае как перенос центра сферы сравнения в любую точку пространства в окрестности точки

Перейдем к некоторым частным случаям. Если задать величину волновой аберрации то в формулах (10.10) интегралы примут вид:

и тогда освещенность будет равна

Из формулы (10.12) следует, что освещенность в идеальном изображении точечного источника света получается пропорциональной квадрату телесного угла тогда как для плоского элемента светящейся поверхности освещенность светосила — была пропорциональной телесному углу в первой степени.

В частном случае для дифрагирующего отверстия прямоугольной формы освещенность будет равна

для отверстия круглой формы

для отверстия эллиптической формы

Будем теперь перемещать центр сферы сравнения по направлению нормали к дифрагирующему отверстию. В данном случае будет иметь место расфокусировка. Тогда величина волновой аберрации примет вид

Обращаясь к формулам (10.10), можно написать:

Выполняя интегрирование, находим:

Формулы (10.18) позволяют определить освещенность

Можно составить отношение освещенности при расфокусировке к освещенности без расфокусировки.

Деля формулу (10.19) на (10.14), находим

Делая сокращения и вводя после этого обозначение

окончательно получаем

Это отношение освещенности при наличии аберраций (в рассматриваемом случае — расфокусировки) к освещенности для безаберрационного изображения точки называют числом Штреля или определительной яркостью. Число Штреля нередко используют как критерий оценки качества изображения.

Таблица 10.1 (см. скан)

В рассматриваемом нами случае были получены формулы, позволяющие проследить изменение освещенности при перемещении центра сферы сравнения вдоль оси, т. е. вдоль главного луча.

Задавая различные значения расфокусировки, выражаемой волновой аберрацией получаем ряд значений для которых вычисляем отношение освещенностей Эти результаты сведены в табл. 10.1.

Обращаясь к формуле (10.22), видим, что множитель должен обращаться в нуль при значениях кратных что видно также и из приведенной таблицы.

Перейдем к определению освещенности для точек, расположенных в плоскости, перпендикулярной оси — главному лучу — и проходящей через точку идеального изображения источника света.

Для этого случая волновая аберрация выразится функцией первой степени от апертурного угла:

где перемещение центра сферы сравнения в направлении, перпендикулярном главному лучу.

Если рассматриваемый пучок лучей имеет форму кругового конуса, то волновая аберрация при обходе по контуру зрачка выразится формулой

что позволяет преобразовать общее выражение (10.8) для освещенности:

(интеграл опускается, как тождественно равный нулю).

При подстановке новой переменной:

интеграл С в формуле (10.25) преобразуется:

Изменяя верхний предел во втором интеграле, приводим его к произведению функции Бесселя нулевого порядка и ее аргумента:

Этот интеграл, в свою очередь, приводим к произведению функции Бесселя первого рода первого порядка и ее аргумента:

Переходя к отношению освещенностей получаем

Картина изменения этого отношения в зависимости от переменной представлена в табл. 10.2.

Таблица 10.2. (см. скан)

Возвращаясь к формулам (10.9), можно рассмотреть случай зрачка прямоугольной формы.

Полагая для рассмотрения картины в плоскости, перпендикулярной главному лучу, величины волновой аберрации равными

и вводя в формулы (10.9), получаем:

где

После интегрирования находим:

и, переходя к освещенности получаем

Величина может быть выражена через волновую аберрацию на краю отверстия выраженную в длинах вэлн:

Пользуясь формулой (10.13), можно составить отношение

Формула (10.37) будет одинаково справедлива как для меридио нальной, так и для сагиттальной плоскости.

Так как прямоугольное отверстие будет иметь в общем случае неравные стороны, картина дифракционного распределения энергии будет различной по меридиональному и сагиттальному направлениям.

Зависимость будет обращаться в нуль при значениях кратных поэтому и отношение также должно обращаться в нуль для значений, кратных

Таблица 10.3 (см. скан)

В табл. 10.3 приведены отношения вычисленные для ряда значений