Глава 3. КОМА И АПЛАНАТИЗМ

§ 15. Инвариант меридиональной комы

При рассмотрении более или менее широких пучков лучей встречается общий случай, когда при переходе от одной части пучка к другой наблюдается изменение положения точки меридионального изображения. Такое изменение можно представить себе как процесс касания лучей пучка с некоторой общей огибающей кривой, называемой меридиональной каустикой; в первом приближении можно принимать радиус такой каустики за постоянную величину.

Нетрудно связать радиус каустики с величиной угла между лучами рассматриваемого пучка и перемещением точки меридионального изображения Обращаясь к рис. 3.1, находим

Установим зависимость между радиусом предметной каустики и радиусом каустики изображения и ходом главного луча, преломляющегося на сферической поверхности.

Обращаясь к рис. 3.2, на котором представлена картина образования каустики в пространстве изображений, нетрудно установить, что дуга каустики определится разностью отрезков

Отрезок может быть получен как произведение расстояния на синус угла :

Рис. 3.1. Радиус каустики

Рис. 3.2. К выводу инварианта меридиональной комы

Отрезок же может быть определен как произведение радиуса поверхности на малый угол

Таким образом, формула (3.2) может быть представлена в виде

Разделив дугу на элементарный апертурный угол получим радиус каустики

Согласно рис. 3.2, можно связать друг с другом элементарные углы

Величина угла может быть выражена через отрезок

и тогда угол ( получается равным

Дифференцируя меридиональный инвариант (2.10), находим

и, деля на получаем

Из формулы (3.6) можно получить величину

и по аналогии для предметного пространства

Пользуясь формулами и (3.8), (3.9), получаем

Выражая углы через и деля на формулу (3.14), находим

Разделив выражение (3.15) на и раскрыв скобки, после сокращений получим инвариант меридиональной комы: