§ 37. Связь между волновыми и геометрическими аберрациями

Ранее уже отмечалось, что и волновые и геометрические аберрации являются различными представлениями одних и тех же явлений; поэтому, так как определение аберраций удобно производить, опираясь на геометрическое представление аберраций (разрушение гомоцентричности пучка лучей, ход которых через оптическую систему может быть определен с помощью соответствующих формул геометрической оптики), а глубокую оценку качества изображения (определение частотно-контрастных характеристик) нельзя производить, не располагая знанием волновых аберраций, возникает задача установления перехода от представления аберраций в волновой форме к представлению их в геометрической форме и наоборот.

Этот переход, в особенности для не очень больших апертурных углов, не слишком сложен. Следует заметить, что представления аберраций в геометрической и волновой формах не единственные; в некоторых случаях аберрации могут быть выражены и в другом виде: иногда будем пользоваться радиусами кривых, огибающих пучки лучей, — каустических кривых; в окрестности около оси системы еще довольно часто используют коэффициенты аберраций третьего порядка — так называемые зейделевские коэффициенты.

Использование радиусов каустик и соответственных коэффициентов бывает выгодно тем, что коэффициенты сохраняются неизменными при изменении апертурных углов, тогда как и геометрические и волновые аберрации будут зависеть от величины этих углов.

Перейдем непосредственно к установлению зависимости между волновыми и геометрическими аберрациями.

Обратимся к рис. 7.6, на котором представлен участок волновой поверхности, ограниченный координатными плоскостями и параллельными им плоскостями (на рисунке не показаны), проходящими через точку волновой поверхности с координатами Центр сферы сравнения (сфера сравнения на рис. 7.6 не показана) совмещен с началом системы координат. Нормаль к волновой поверхности — луч — пересекает плоскость в точке с координатами

Рис. 7.6. Связь волновых и геометрических аберраций

Запишем уравнение волновой поверхности в виде

Будем рассматривать плоскость проходящую через точку параллельно плоскости Приравнивая в уравнении волновой поверхности текущую координату величине получаем уравнение линии пересечения волновой поверхности с плоскостью Р:

Равным образом, рассматривая плоскость проходящую через точку параллельно плоскости получаем уравнение линии пересечения волновой поверхности с плоскостью

Проведем через нормаль плоскость, перпендикулярную плоскости и плоскость, перпендикулярную плоскости Эти две плоскости пересекутся с плоскостью по прямым параллельным координатным осям и

Соединив точку с точками получим две прямые, лежащие в плоскостях и являющиеся нормалями к кривым, выраженным уравнениями (7.22) и (7.23).

Соединив точку с началом координат, получим прямую на которой отложим радиус сферы сравнения; в случае наличия

волновой аберрации она выразится как расстояние между сферой сравнения и волновой поверхностью.

Таким образом, величину волновой аберрации можно выразить как разность

Избавляясь от иррациональности в формуле (7.24), получаем

С учетом малости величины волновой аберрации формула (7.25) несколько упрощается:

Напишем уравнения нормалей и проходящих через точку и лежащих в плоскостях

Согласно правилам аналитической геометрии для касательных, проходящих через точку имеем:

и, переходя к нормалям,

Система уравнений (7.29) определяет направление нормали к волновой поверхности в точке

Продифференцируем уравнение (7.26) в частных производных по и по у:

Если считать текущую координату то координаты переходят в В соответствии с этим можно написать:

Сопоставляя формулы (7.32) с формулами (7.30) и (7.31), видим, что правые части формул (7.32) получаются равными частным производным от волновой аберрации по соответственным координатным осям, умноженным на радиус сферы сравнения Таким образом, получаем:

Величины можно рассматривать как поперечные аберрации, определенные в плоскости, перпендикулярной к главному лучу. Однако обычно поперечные аберрации рассматривают в плоскости, перпендикулярной оси системы. В случае, когда главный луч будет составлять с осью системы полевой угол меридиональная составляющая поперечной аберрации в плоскости, перпендикулярной оси, будет равна

величина же сагиттальной составляющей остается неизменной:

Пользование прямоугольными координатами точки на волновой поверхности имеет некоторые неудобства, так как выбор волновой поверхности делается произвольно; кроме того, затрудняется суммирование аберраций на промежуточном изображении, если будут рассматриваться две системы, стыкуемые по промежуточному изображению.

Этого можно избежать, если от прямоугольных координат перейти к апертурным углам, которые определяются приближенными формулами:

Дифференцируя эти выражения, получаем:

что позволяет привести формулы (7.34) и (7.35) к виду:

При оценке качества изображения телескопических систем, дающих изображение, расположенное в бесконечности, вместо величин поперечных аберраций пользуются аберрациями угловыми; их величину можно получить, определяя углы как отношения поперечных аберраций к радиусу сферы сравнения:

Заметим, что формулы (7.39) являются точными и при замене сферы сравнения на плоскость, тогда как формулы (7.34), (7.35) будут приближенными.