Часть 2. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ БАЛАНС ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Глава 5. ОГРАНИЧЕНИЕ ПУЧКОВ ЛУЧЕЙ

§ 23. Геометрическое виньетирование

Рассматривая работу одной преломляющей сферической поверхности, мы уже встретились с явлением ограничения широких световых пучков величиной радиуса поверхности и моментом возникновения полного внутреннего отражения.

На практике ограничение световых пучков, проходящих через оптическую систему, обусловлено большей частью наличием в ней одной или нескольких материальных диафрагм, с помощью которых устраняются части световых пучков, недостаточно хорошо корригированные; кроме того, материальными диафрагмами, ограничивающими световые пучки, являются оправы линз, из которых составлена оптическая система.

Материальные диафрагмы могут быть расположены в различных частях системы, в том числе и перед системой и после нее. Для облегчения анализа влияния диафрагм на ограничение световых пучков, проходящих через оптическую систему, часто прибегают к приему, сущность которого строится на переносе изображений всех диафрагм в одно и то же пространство — пространство предметов или пространство изображений.

Очевидно, возможен такой перенос и в пространство между различными частями самой оптической системы.

При переносе изображений материальных диафрагм предполагается, что эти изображения, в первом приближении, получаются без возникновения каких-либо аберраций (для обеспечения этого обычно не принимают никаких мер).

Заметим, что принципиально возможен случай, когда материальные диафрагмы, ограничивающие пучки лучей, на самом деле окажутся расположенными в одном и том же пространстве. Поэтому рассмотрение работы материальных диафрагм, ограничивающих световые пучки, начнем со случая наличия двух таких диафрагм, расположенных в пространстве перед оптической системой, как это показано на рис. 5.1.

В точке расположена предметная точка на оси, а в точках и центры первой и второй материальных диафрагм на расстояниях от предметной точки равных

Радиусы отверстий обеих диафрагм примем равными На рис. 5.1, кроме того, показан вид на плоскость диафрагмы вдоль оси оптической системы.

Соединяя края отверстий обеих диафрагм с предметной точкой А о, образуем два конических пучка лучей, причем возможно, что один из этих конусов, например конус, построенный на отверстии второй диафрагмы окажется расположенным внутри конуса, построенного на отверстии диафрагмы (хотя возможен и случай, когда оба конуса окажутся совпадающими друг с другом).

Рис. 5.1. Ограничение сходящихся пучков при двух диафрагмах

Отверстие диафрагмы, ограничивающей внутренний конус лучей (или изобр ажен иесоответствующей диафрагмы — для более общего случая), называют обычно отверстием входного зрачка; отверстие же другой диафрагмы (или ее изображение), ограничивающей более широкий конус лучей, называют люком.

Перемещая точку А вверх по предметной плоскости, замечаем, что пока она не дойдет до положения точки определяемой моментом касания луча верхних краев обеих диафрагм, пучок лучей будет ограничиваться лишь отверстием входного зрачка. При дальнейшем перемещении точки А вверх верхний луч наклонного пучка” будет ограничиваться уже не краем отверстия зрачка, а краем люка. Наконец, когда точка А займет положение А 2, определяемое касанием луча верхнего края люка и нижнего края зрачка, произойдет полное срезание пучка лучей.

Рассмотрим картину, когда точка А располагается между точками на расстоянии у от оси системы.

Будем считать точку А некоторым центром проекции; тогда представляется возможным спроектировать отверстие диафрагмы отверстие люка — на плоскостьгдиафрагмы плоскость входного зрачка.

Тогда край диафрагмы — точка спроектируется в виде точки центр люка — точка спроектируется в точку При этом очевидно, что проекцией радиуса отверстия люка будет расстояние которое обозначим через Величину этой проекции нетрудно определить из подобия треугольников

Найдем расстояние смещение центра проекции диафрагмы с оси системы.

Из подобия треугольников следует

Из второй проекции, показанной на рис. 5.1, видим, что меридиональный диаметр сечения наклонного пучка лучей, прошедшего через обе диафрагмы, получается равным

отрезок же есть не что иное, как разность отрезков:

Таким образом, меридиональный диаметр пучка лучей получается равным

Из формулы (5.5) следует, что меридиональный диаметр наклонного пучка в плоскости диафрагмы входного зрачка связан линейной зависимостью с величиной предмета у.

Процесс срезания наклонного пучка принято называть процессом виньетирования; поэтому в данном случае мы будем иметь дело с виньетированием по диаметру, или с линейным виньетированием. Однако практически нас будет больше интересовать относительное виньетирование равное отношению

Так как виньетирование по диаметру является линейной функцией от величины предмета, то для того чтобы охарактеризовать картину виньетирования, достаточно определить две какие-либо точки этого процесса; наиболее целесообразно в качестве таких точек выбрать начало и окончание процесса виньетирования, определяемые равенствами

В соответствии с этим определим значения величин определяющих начало и конец виньетирования.

Для начала виньетирования можно написать

откуда

Момент окончания виньетирования определяется равенством

откуда

Как видим, выражение для величины предмета в момент окончания виньетирования отличается от выражения для начала виньетирования лишь знаком в числителе.

Если то момент начала виньетирования совпадает с центром поля зрения. Тогда, согласно формуле (5.8), должно иметь место равенство

из которого следует подобие треугольников с катетами и . Заметим, что этот случай "определяется касанием отверстий обеих диафрагм к одному и тому же коническому пучку лучей, когда формально любую из диафрагм можно было бы называть входным зрачком системы.

Если начало виньетирования совпадает с центром поля зрения, то момент окончания виньетирования определяется йеличиной предмета

Процесс виньетирования был рассмотрен для общего случая, когда предмет расположен на конечном расстоянии от материальных диафрагм.

В случае же перемещения предмета в бесконечность величины также обращаются в бесконечность; одновременно с этим в бесконечность обращаются и величины . Поэтому во избежание неопределенности переходим к представлению виньетирования как функции от полевого угла

Тогда формулы (5.8) и (5.10) можно представить в виде:

так как разность отрезков определяет расстояние между диафрагмами

При удалении предмета в бесконечность отношения величин стремятся к единице, и тогда формулы (5.13) преобразуются:

В случае, когда виньетирование начинается от центра поля, отверстия обеих диафрагм становятся одинаковыми и момент окончания виньетирования определяется формулой

Рис. 5.2. График геометрического виньетирования

Графически весьма наглядно виньетирование представлено на рис. 5.2.

На этом графике вдоль оси абсцисс отложены расстояния у, определяющие положение предметной точки относительно оси; по оси ординат отложены величины отношений

Так как до начала виньетирования в точке срезания пучков лучей не происходит, то до этого момента график представится прямой, параллельной оси абсцисс, идущей на расстоянии от нее, равном единице.

В точке начала виньетирования будет расположена точка излома; от нее до точки окончания виньетирования график представится наклонным отрезком прямой.

Уменьшая отверстие диафрагмы, являющейся зрачком входа, согласно формулам (5.8) и (5.10), замечаем, что начало виньетирования наступит несколько позже, а окончание — на столько же раньше, как это показано на рис. 5.2 штриховой прямой, проходящей через середину отрезка, определявшего процесс виньетирования до диафрагмирования.

В процессе виньетирования могут участвовать не только две диафрагмы, но и три и более; при этом виньетирующие диафрагмы — люки — могут быть расположены как по одну, так и по другую сторону от зрачка входа. В этих случаях график функции виньетирования может иметь не только одну точку излома, но и две и более.

Для построения графика виньетирования от нескольких диафрагм удобно воспользоваться следующим приемом. Первоначально строится один график виньетирования, определяемый

Диафрагмой входного зрачка и какой-либо одной из остальных диафрагм; затем на том же чертеже строится график, соответствующий совокупности входного зрачка уже с другой диафрагмой, затем с третьей и т. д.

При этом, если виньетирующие диафрагмы расположены с одной и той же стороны от зрачка, то их графики строятся так же как и для исходной виньетирующей диафрагмы.

Рис. 5.3. Картина (а) и график (б) виньетирования при трех диафрагмах

Если же, наоборот, вторая (или очередная) виньетирующая диафрагма будет расположена по другую сторону от диафрагмы входного зрачка, то график виньетирования строится уже не от оси абсцисс, а от прямой, ей параллельной, соответствующей отсутствию виньетирования, причем построение графика ужеосуществляется вниз, а не вверх. Тогда точки пересечения отрезков прямых, соответствующих процессам виньетирования по обе стороны от зрачка, определят момент завершения виньетирования для совокупности таких диафрагм.

Если же диафрагмы будут расположены по одну сторону от зрачка, то конец виньетирования определится той из виньетирующих диафрагм, у которой этот момент наступит раньше.

Картины процесса виньетирования при двух люках представлены на рис. 5.3.

Для оценки количества световой энергии, воспринимаемой оптической системой, необходимо знать площадь сечения наклонного пучка в плоскости зрачка — так называемую площадь действующего отверстия зрачка; ее отношение к площади зрачка входа можно назвать геометрическим виньетированием по площади.

Вычисление площади сечения пучка лучей сводится к определению площади, ограниченной дугами пересекающихся окружностей с различными (в общем случае) радиусами кривизны. Эти радиусы могут быть вычислены по формуле (5.1). Меридиональный диаметр сечения пучка можно определить по формуле для линейного виньетирования.

В случае наличия двух диафрагм — диафрагмы зрачка входа и одной виньетирующей диафрагмы (люка) — решение задачи определения площади сечения пучка оказывается довольно громоздким. Но так как для практических целей точность определения виньетирования по площади не слишком высока, представляется возможным прибегнуть к приближенным приемам.

Рис. 5.4. К. приближенному определению виньетирования по площади

Совершенно очевидно, что начало и окончание виньетирования по диаметру всегда должны совпадать с началом и окончанием виньетирования по площади; кроме того, несколько занижая площадь действующего отверстия, можно считать, что сечение пучка лучей будет ограничиваться пересечением дуг равных радиусов.

Тогда определение виньетирования по площади сведется к определению удвоенной площади кругового сегмента со стрелкой, равной половине меридионального диаметра пучка.

Напомним, что равенство радиусов дуг, ограничивающих сечение пучка, согласно формулам (5.1) и (5.11), соответствует случаю, когда виньетирование начинается от центра поля.

Обратимся к рис. 5.4, на котором представлено пересечение двух окружностей равного радиуса в точках Величину угла, определяющего половину дуги сегмента, обозначим через у. Тогда, полагая радиусы окружностей равными получим величину полухорды и отрезок

Площадь полусегмента равна четверти площади действующего отверстия:

откуда

Площадь отверстия зрачка

Составляя отношение площади к площади получаем величину относительного геометрического виньетирования по площади

Величина линейного виньетирования в этом случае может быть выражена формулой

Рис. 5.5. К определению виньетирования по формуле Симпсона

Рис. 5.6. Аберрационное виньетирование

Задавая ряд значений линейного виньетирования, можно получить ряд значений и по ним, пользуясь формулой (5.20), найти ряд значений виньетирования по площади. Результаты вычислений приведены ниже.

(см. скан)

Заметим, что для значений лежащих в интервале от 0,7 до 0,2, функция приобретает ряд значений, примерно на 0,1 меньших, нежели значения функции Таким образом, в этом интервале можно дать приближенную зависимость

В случае же необходимости более точного определения виньетирования по площади всегда можно воспользоваться известной формулой Симпсона, при этом площадь действующего отверстия разбивается на ряд равных интервалов.

В частности, при разделении полуплощади действующего отверстия на два или на три интервала (рис. 5.5) получаются соответственно следующие выражения:

где сагиттальный диаметр сечения наклонного пучка.