§ 63. Системы из двух апланатических поверхностей. Биапланатическая линза

Представим себе две последовательно расположенные апланатические поверхности, разделяющие три среды, из которых первая и последняя будут обладать одинаковыми показателями преломления. Такой случай будет иметь место при расположении биапланатической линзы в воздухе.

Рис. 12.6. Биапланатическая линза

Сопоставляя величины для этих двух поверхностей, можно написать, согласно формуле (12.64):

Таким образом, биапланатическая линза не будет изменять величины изображения и для апланатических точек можно было бы принять линейное увеличение равным единице. Однако для точки на оси системы линейное увеличение не будет равно единице, поэтому биапланатическая линза будет обладать некоторой дисторсией. Равным образом, для биапланатической линзы с разными радиусами не получится равной нулю и кривизна поля.

Для определения этих двух величин необходимо найти положение и величину изображения для нулевых лучей, что может быть сделано после того, как будет определено расстояние между вершинами обеих поверхностей биапланатической линзы.

С этой целью обратимся к рис. 12.6, на котором представлена биапланатическая линза с радиусами и промежуточным изображением у.

Полагая известными углы обеих вспомогательных осей, можно определить расстояние между центрами обеих поверхностей:

Отсюда толщина получается равной

заменив согласно (12.62) радиусы через величину у, находим

Роль предметного отрезка в рассматриваемом нами случае будет играть отрезок а, который может быть определен по формуле (12.66).

Рассматривая биапланатическую линзу, мы полагали, что первая и последняя среды одинаковы. Однако для этих сред можно взять и различные показатели преломления.

Особый интерес с этой точки зрения представляют такие системы из двух апланатических поверхностей, когда показатель преломления второй среды так же относится к показателю преломления первой среды, как показатель преломления третьей среды к показателю преломления второй. Это соотношение может быть записано в виде

Полагая заданной величину первого радиуса можно определить величину отрезка до изображения апланатической точки А. Согласно формуле (12.67),

Эта величина может быть принята равной расстоянию между вершинами обеих поверхностей.

Вторую поверхность можно сделать концентричной к первой; тогда величина второго радиуса будет равна

что может быть записано в виде

Для апланатической поверхности, согласно формуле (2.47), имеет место равенство углов:

Но угол по отношению ко второй поверхности играет роль угла Поэтому, учитывая величины показателей преломления, можно написать:

Таким образом, любой луч, проходящий через вершину второй преломляющей поверхности, будет параллелен своему направлению до входа в оптическую систему.

Если теперь повернуть рисунок на угол то входящий луч станет параллельным оси, так же как и выходящий луч, и эта параллельность будет сохраняться для всех лучей, идущих на любых расстояниях от оси.

Рис. 12.7. Безаберрационная телеконцентрическая линза

С другой стороны, телескопичность рассматриваемой концентрической системы, как и ранее, явится причиной отсутствия кривизны поля зрения.

Таким образом, рассматриваемая система, как телескопическая, окажется строго безаберрационной для случая размещения предмета в бесконечности.

Можно показать, что отсутствие аберраций будет наблюдаться и при любом другом положении предмета, определяемом его расстоянием от центра обеих поверхностей концентрической системы. С этой целью обратимся к рис. 12.7, на котором представлено некоторое положение предметной точки А, определяемое расстоянием до центра системы С.

Опуская из этого центра перпендикуляр на луч, проходящий через точку А под произвольным углом к оси, образуем прямоугольный треугольник

Этот же луч по выходе из системы, согласно формуле (12.86), должен сохранить свое первоначальное направление; однако при этом длина перпендикуляра опущенного из центра С на выходящий луч, изменится в отношении к длине перпендикуляра Таким образом, получим треугольник подобный треугольнику

Изменяя величину предметного апертурного угла при сохранении прежнего положения точки А, мы получим новый

треугольник которому в пространстве изображений будет соответствовать также новый треугольник но с сохранением прежнего коэффициента подобия Благодаря этому величины гипотенуз для всех пар таких подобных треугольников останутся неизменными, что и выразится в гомоцентричности пучка лучей, проходящего через точку изображения А.

Заметим, что, компонуя оптическую систему только из концентрических к зрачку поверхностей и поверхностей апланатических, мы заранее обеспечиваем на всех поверхностях такой системы отсутствие астигматизма и комы и в первом приближении — неизменность сферической аберрации по полю зрения. Поэтому системы подобного рода уместно называть системами изопланатическими.

Кривизна поля и сферическая аберрация в таких изопланатических системах может быть устранена соответствующим подбором сил и аберраций концентрических и апланатических поверхностей, обеспечивающим их взаимную компенсацию.

Таким образом, уже заранее можно представить себе группу изопланатических систем, построенных на основе использования концентрических и апланатических поверхностей, обеспечивающих устранение комы, кривизны поля, астигматизма и сферической аберрации.

Существенно, что при такой компоновке будет обеспечиваться постоянство сферической аберрации по полю или одновременное устранение сферической аберрации как в центре поля зрения, так и на краю поля.

Заметим, что такое построение изопланатических систем выгодно еще и тем, что при каких-либо дефектах изготовления погрешности будут сравнительно мало сказываться на общем ухудшении изображения.