§ 87. Астигматизм линзы в воздухе

В § 64 было получено общее выражение (13.11) для анастигматической линзы, справедливое для трех сред, разделенных двумя сферическими преломляющими поверхностями.

Пользуясь этим выражением, можно было бы получить два рода анастигматических линз — с одинаковыми знаками углов падения и преломления на обеих поверхностях (анастигматические линзы первого рода) и с разными знаками (анастигматические линзы второго рода).

Задаваясь одними и теми же величинами углов несмотря на различные знаки, получим одинаковые значения радиусов; однако толщины по оси таких анастигматических линз получатся различными для линз первого и второго рода.

Можно было бы поставить задачу обратную. Используя возможное равенство радиусов и вводя дополнительно равенство толщин по оси (вместо равенства кссых толщин) — осуществляя таким образом полное сохранение формы линзы, — поставим задачу отыскания для такой линзы положений анастигматических зрачков, обращающих одну и ту же линзу в анастигматическую или первого или второго рода.

Однако решение такой задачи на основе формулы (13.11) приведет к чрезвычайно громоздким формулам, использование которых едва ли было бы целесообразным. Поэтому воспользуемся несколько иным подходом, руководствуясь принципиальной возможностью решения поставленной задачи.

Для этой цели будем исходить из начальных форм линз, когда на одной из ее поверхностей углы падения и преломления главного луча будут равными нулю. Таким образом, полагая углы 82 и на второй поверхности равными нулю, когда главный луч будет проходить по ее нормали, пользуясь формулой (13.11) находим

что возможно лишь в случае, когда первая поверхность линзы будет плоской.

Полагая, наоборот, что углы также на основании формулы (13.11) получаем

откуда

или, используя закон преломления,

т. e. вторая поверхность линзы апланатична по отношению к точке изображения после первой поверхности.

Заметим, что как в первом случае, так и во втором получаем однозначные решения, приводящие к единому положению входного зрачка, при котором будет иметь место устранение астигматизма.

Возвратимся к рассмотрению первого случая плоско-выпуклой линзы, когда выходящие из нее главные лучи шли вдоль радиусов второй поверхности, образуя положение выходного зрачка, совпадающее с центром второй поверхности.

Принимая толщину такой плоско-выпуклой линзы равной ее второму радиусу, мы получим для нее положение входного зрачка, обеспечивающее строгое исправление астигматизма по всему полю зрения и совпадающее с первой плоской поверхностью.

Такая линза представлена на рис. 17.3. Рассматривая ход наклонного параллельного пучка лучей через эту линзу, видим, что после преломления на плоской поверхности этот параллельный пучок по-прежнему сохранит свою симметричность по отношению к главному лучу, следствием чего явится отсутствие комы для анастигматической точки на главном луче. Но, вместе с тем, вторая поверхность будет обладать отрицательной сферической аберрацией.

Рис. 17.3. Астигматизм плоско-выпуклой линзы

Будем теперь перемещать зрачок входа вдоль оси линзы вправо и влево на равные расстояния. В обоих случаях главные лучи будут идти параллельно исходному главному лучу, соответственно ниже или выше.

При этом первая плоская поверхность по-прежнему не сможет внести астигматизма; вторая же поверхность, с нормалями к которой новые главные лучи будут уже составлять углы и не равные нулю (положительные или отрицательные), внесет отрицательный астигматизм, так как и в меридиональном и в сагиттальном инвариантах углы входят под косинусами, в силу чего знаки этих углов не будут иметь значения.

Нетрудно представить себе, что сагиттальные точки изображения для новых главных лучей будут расположены в точках пересечения этих лучей с исходным главным лучом; меридиональные же точки будут расположены в точках касания новых главных лучей с их общей огибающей — каустикой.

Из рис. 17.3 и формул (3.21) и (3.45) для меридиональной и сагиттальной комы видно, что кома для новых главных лучей, равно удаленных относительно исходного главного луча, будет, сохраняя свою абсолютную величину, обладать разными знаками.

Проектируя меридиональные и сагиттальные точки изображения на ось линзы, можно построить графики изменения астигматизма в зависимости от изменения положения входного зрачка, расположенные в нижней части рис. 17.3.

Сплошная кривая, выражающая изменение положения сагиттальных точек изображения, будет иметь симметричную форму;

симметрия же штриховой кривой, выражающей изменение положения меридиональных точек изображения, будет несколько нарушена.

Аналогичная картина, представленная на рис. 17.4, имеет место и для линзы, когда исходный главный луч шел по нормали к первой поверхности, попадая затем в апланатическую точку второй поверхности.

Для этого случая исправление астигматизма будет иметь место лишь для какого-то одного полевого угла, так как для других полевых углов будет возникать некоторое несовпадение изображений после первой поверхности с соответствующими апланатическими точками второй поверхности.

Рис. 17.4. Астигматизм линзы со второй апланатической поверхностью

Возвращаясь к плоско-выпуклой линзе и придавая первой поверхности небольшую выпуклость, мы тем самым введем некоторый начальный отрицательный астигматизм, который при ходе главного луча по нормали ко второй поверхности не будет устранен; поэтому кривые изменения астигматизма на рис. 17.3 разойдутся и исправление астигматизма станет невозможным ни при каком положении входного зрачка; наоборот, придавая первой поверхности небольшую вогнутость, внесем некоторый начальный положительный астигматизм, который при смещении главного луча с нормали ко второй поверхности рано или поздно будет скомпенсированным ее быстро растущим отрицательным астигматизмом; следствием явится то, что кривые изменения

астигматизма пересекутся друг с другом, давая тем самым два положения анастигматических зрачков.

Эти два случая представлены на рис. 17.5. Различные положения анастигматических зрачков будут соответствовать анастигматическим линзам первого рода (при ближнем положении зрачка) и линзам второго рода (при дальнем положении зрачка).

С аналогичной картиной встретимся и тогда, когда главные лучи будут идти в исходном положении по нормалям к первой поверхности.

Рассмотрим влияние толщины линзы. Обращаясь к случаю плоско-выпуклой линзы и принимая ее толщину небольшой, видим, что главные лучи, выходящие из линзы по нормалям к второй поверхности, не смогут пересечься в предметном пространстве в одной и той же точке.

Рис. 17.5. Астигматизм положительных линз: а — двояковыпуклый; б - менискообразный

Поэтому, совместив с центром зрачка точку пересечения с осью какого-то одного главного луча, идущего под определенным углом к оси, другие главные лучи, проходя через центр этого же зрачка, уже не смогут выйти из линзы по нормалям к ее второй поверхности, следствием чего явится возникновение отрицательного астигматизма как ниже, так и выше точки с исправленным астигматизмом.

Такая плоско-выпуклая линза и графики изменения ее астигматизма представлены на рис. 17.6. Обращает на себя внимание то, что характер изменения ее астигматизма по полю зрения не может быть выражен зависимостью ниже седьмого порядка.

Рассматривая рис. 17.6, видим, что вершины кривых изменения астигматизма с ростом полевого угла приближаются к линзе; благодаря этому при исправлении астигматизма на краю поля зрения для менискообразных линз при ближнем положении зрачка будут наблюдаться значительные остаточные отрицательные зоны астигматизма для меньших полевых углов; при дальнем же положении зрачка на меньших углах возможно появление положительных зон астигматизма и второй точки с исправленным астигматизмом.

Изменение меридиональной кривизны поля при изменении положения входного зрачка позволяет судить о других аберрациях линзы в воздухе. Обращаясь к общему выражению волновой аберрации вдоль меридионального волнового фронта, можем написать

Дифференцируя это выражение по апертурному углу, получаем поперечную аберрацию перпендикулярно главному лучу

Полагая значения апертурного угла получаем смещение самого главного луча

которое можно рассматривать как волновую дисторсию. Выбирая центр сферы сравнения на главном луче, этот член может быть сделан равным нулю.

Рис. 17.6. Зависимость астигматизма от аберрации в зрачке входа

Дифференцируя поперечную аберрацию по апертурному углу, находим перемещение точки изображения вдоль главного луча

Если приравнять угол величина выразит смещение меридионального изображения вдоль главного луча по отношению к центру сферы сравнения

Дифференцируя смещение по апертурному углу, найдем радиус комы

и приравнивая угол получаем исходную величину радиуса каустики -радиуса меридиональной комы.

Рис. 17.7. Ход главного луча и влияние перемещения входного зрачка на положение меридионального изображения

Дифференцируя радиус меридиональной комы по апертурному углу, получим выражение для радиуса меридиональной сферической аберрации

Формулы (17.59) — (17.64) позволяют представить выражение в врде

и тогда

Если известны полевые углы шиш, можно связать апертурный угол и меридиональное фокусное расстояние с перемещением входного зрачка

Обращаясь к рис, 17.7, на котором представлен ход главного луча, находим

что позволяет представить перемещение меридионального изображения как функцию смещения зрачка

Аналогично можно получить и изменение радиуса комы

Дифференцируя формулу (17.70) и приравнивая после дифференцирования смещение зрачка нулю, получаем

где угол касательной к кривой изменения меридиональной кривизны в соответствии с рис. 17.5.

Пользуясь графиком и формулой (17.68) для радиуса комы, можно увидеть, что при переходе от дальнего положения зрачка к его ближнему положению происходит изменение знака комы.

Совершенно очевидно, что при изменении показателя преломления линзы в воздухе будет происходить и изменение положения анастигматических зрачков. Для того чтобы можно было судить о влиянии показателей преломления, было проведено определение положений анастигматических зрачков для положительных линз различной формы с двумя различными показателями преломления, равными

Результаты этой работы позволили составить графики изменений астигматизма и сферической аберрации для линз различной формы (рис. 17.8); на этом рисунке вдоль оси абсцисс отложены значения углов параксиального луча, определяющие прогиб (форму) линзы, а вдоль оси ординат — значения отрезков от первой поверхности до анастигматических зрачков входа и значения сферической аберрации На рисунке приведены две формы линз и соответствующие этим формам графики изменения астигматизма по полю, а также графики изменения сферической аберрации на краю отверстия.

Из приведенных графиков видно, что наименьшая величина сферической аберрации имеет место для тех форм линз, для которых исправление астигматизма невозможно.

(кликните для просмотра скана)