§ 61. Астигматизм концентрической системы для случая расположения предмета в ее центре. Телеконцентрические линзы

Положение предмета, плоскость которого проходит через центр С концентрической системы, представлено на рис. 12.3.

В точке на расстоянии от точки С, расположен центр еыходного зрачка предшествующей системы; полевой угол главного луча с осью системы обозначим через

После концентрической системы главный луч пересечет ось в некоторой точке на расстоянии от центра системы С, образуя с ее осью угол

Рис. 12.3. К определений) астигматизма концентрической системы

Главный луч пересечет плоскость, проходящую перпендикулярно ему через точку С, в некоторой точке выходя из системы, главный луч пересечет изображение этой же плоскости в точке не совпадающей с точкой

Однако, поворачивая рисунок относительно прямой, проходящей перпендикулярно оси через точку С, получим точку как предметную точку в сагиттальной плоскости и ее изображение в точке расположенной на том же перпендикуляре. Таким образом, концентрическая система не изменит положения сагиттального изображения в направлении оси системы.

Однако в меридиональной плоскости мы увидим другую картину. Опуская из центра С перпендикуляры на входящий и выходящий главный луч, получим положения узловых точек в меридиональной плоскости на главном луче.

Расстояния этих точек от точек можно выразить как катеты прямоугольных треугольников:

Отрезки позволяют получить меридиональное фокусное расстояние вдоль рассматриваемого главного луча согласно формуле

которая легко может быть получена из формулы (12.43).

Расстояние точки от точки может быть определено как разность отрезков:

Зная величину этого отрезка, можно определить отрезок выражающий расстояние между точками . Пользуясь формулой (12.46), находим

Расстояние точки от точки будет равно сумме отрезков:

Отрезок соизмерим с фокусным расстоянием при небольших углах отрезок будет получаться малой величиной относительно величины отсюда и отрезок также будет малой величиной.

В примере, показанном на рис. 12.3, оба отрезка будут отрицательными, а отрезок получится положительным.

Таким образом, для плоского предмета, проходящего через центр концентрической системы, его меридиональное изображение будет иметь положительную кривизну, тогда как для сагиттальной плоскости изображение плоского предмета оставалось плоским.

Предположим, что две концентрические поверхности ограничивают воздушный промежуток, разделяющий две среды с различными показателями преломления, и поставим условие, чтобы такая концентрическая система была бы афокальной, или телескопической.

Тогда, согласно формуле (12.19), можно написать

В нашем случае полагаем, что показатель преломления и тогда формула (12.50) может быть представлена в виде

Если будет положительно, то для того чтобы толщина воздушного промежутка была тоже положительной, необходимо, чтобы было меньше т. е. Это возможно лишь при условии, что

На рис. 12.4 представлена такая концентрическая система. Параллельно оси на высоте в эту систему направлен луч. Тогда, согласно формуле (12.21), должно иметь место равенство

Отсюда следует, что по выходе из такой системы луч, параллельный оси, должен приобрести высоту

Отношение высоты к высоте можно рассматривать как линейное увеличение этой телескопической системы. Оно будет равно

Вместе с тем, пуская главный луч по нормали к первой поверхности, создадим в силу концентричности его выход тоже по нормали ко второй поверхности; следствием этого будет отсутствие астигматизма и комы.

Рис. 12.4. Телеконцентрическая линза

Кроме того, так как любую прямую, проходящую через общий центр концентрических поверхностей, можно рассматривать как новую ось такой системы, вдоль главного луча должна строго сохраняться афокальность системы. Таким образом, телеконцентрическая линза не сможет обладать кривизной поля. Вследствие равенства входного и выходного углов главного луча с осью угловое увеличение такой системы будет равно единице.

Если перед первой поверхностью поставить плоскость и предположить, что перед плоскостью будет расположена воздушная среда, и поставить после второй поверхности тоже плоскость, за которой тоже будет расположена воздушная среда, то образуем телескопическую систему из двух линз, линейное увеличение которой по-прежнему сохранится равным отношению показателей преломления При этом ни передняя, ни последняя поверхности не внесут ни астигматизма, ни кривизны поля, ни комы.

Однако угловое увеличение такой телескопической системы уже не будет равно единице. Действительно, полагая для главного луча, идущего по нормалям к концентрическим поверхностям, угол с осью системы равным получим величины входного и выходного углов главного луча с осью, равные

для малых углов, когда синусы углов можно принять равными самим углам,

Условимся такого рода системы называть телеконцентрическими; их особенностью будет отсутствие астигматизма, комы и кривизны поля при постоянстве сферической аберрации по полю и линейном и угловом увеличениях, не равных единице.

Телеконцентрические системы можно располагать последовательно друг за другом таким образом, чтобы был согласован ход главного луча по нормалям в обеих составляющих системах; тогда совокупность обеих систем сохранит их основные свойства (при некотором отступлении за счет аберрации в зрачках, возникающей на плоских поверхностях, по которым происходит стыковка составляющих систем).

При этом, однако, их увеличения как угловые, так и линейные перемножатся, но сохранится постоянство отношения синуса входного угла к синусу входного угла для всех полевых углов. Таким образом, оба увеличения примут вид:

Такого рода телеконцентрические системы выгодно использовать как системы для перехода от жидких сред к воздушной, так как при этом можно применять обычные объективы, корригированные для работы в воздушной среде.

Отметим, что при соответствующем подборе увеличения в таких телеконцентрических системах удается устранять возникновение дисторсии на плоской поверхности раздела между жидкой и воздушной средой.

Рассматривая телеконцентрические системы, мы пока ограничивались картиной для монохроматического света; однако на плоских поверхностях будет происходить различное преломление лучей для различных длин волн. Отсюда возникает необходимость устранения в телеконцентрических линзах хроматизма увеличения.

Эту задачу можно решить, осуществляя подбор соответствующих дисперсий для линз, образующих телеконцентрическую систему. Дифференцируя логарифмически выражение закона преломления для первой и последней поверхностей, можно написать:

Полагая предмет и изображение свободными от хроматизма увеличения, следует принять, что Тогда из формул (12.58) получим

или, переходя к числам Аббе,

Заметим, что условие (12.60) не зависит от величины полевых углов, хотя мы и не делали никаких ограничений при их выборе; следовательно, это условие является точной формулой.

Рассматривая концентрические системы, мы не показали их возможностей в исправлении сферической аберрации; эта задача может быть решена путем использования склеенных концентрических поверхностей нужного радиуса кривизны при выбранных должным образом показателях преломления по обе стороны поверхности склейки. Способы исправления сферической аберрации для концентрических систем будут рассмотрены в гл. 18.