Глава 6. СВЕТОРАСПРЕДЕЛЕНИЕ И СВЕТОСИЛА

§ 29. Световая трубка. Общее выражение для светораспределения

Восприятие изображения, создаваемого оптической системой, органически связано с количеством световой энергии, поступающей на изображение; поэтому всегда необходимо иметь ясное представление об обеспеченности изображения энергией, т. е. о световом энергетическом балансе. Для этого прежде всего приведем систему единиц для количественного определения энергетики светового баланса, т. е. систему фотометрических единиц. К таким единицам относятся следующие.

1. Световой поток — количество лучистой энергии, переносимой в единицу времени. Единицей светового потока является люмен эта единица выражается через единицу силы света.

2. Сила света — световой поток точечного источника света, излучаемый в единичном телесном угле — стерадиане

Таким образом, сила света, согласно рис. 6.1, может быть связана с телесным углом формулой

где сила света; световой поток; телесный угол.

За единицу силы света принимают одну канделу равную 1/60 силы света, получаемого с одного квадратного сантиметра поверхности абсолютно черного тела при температуре затвердевания платины.

Таким образом, единичный световой поток — люмен — определяется как произведение силы света, равной одной канделе, на единичный телесный угол — один стерадиан.

Точечный источник света, обладающий по всем направлениям силой света в одну канделу, излучает в окружающее его пространство световой поток, равный

3. Освещенность поверхности — отношение величины светового потока, падающего на нее, к величине освещаемой площади:

За единицу освещенности принимают люкс освещенность, создаваемую световым потоком в один люмен на площади в один квадратный метр.

Рис. 6.1. Излучение в телесном угле от точечного источника света

В соответствии с формулой (6.1) освещенность может быть выражена через силу света:

Но, согласно определению телесного угла, он должен быть равен отношению площади к квадрату расстояния от вершины телесного угла до поверхности:

Поэтому освещенность может быть выражена в виде

4. Яркость В — отношение силы света в заданном направлении к площади проекции излучающего элемента светящейся поверхности на плоскость, перпендикулярную этому направлению. Таким образом,

За единицу яркости принимают яркость, равную отношению силы света в одну канделу к площади (проекции площади) излучения, равной одному квадратному метру

Рассмотрим световую трубку. Соединяя, согласно рис. 6.2, элемент излучающей поверхности с освещаемым элементом поверхности образуем замкнутое пространство, через которое протекает световой поток

Так как через боковую поверхность световой трубки не происходит утечки световой энергии, то световой поток, вошедший в нее через элемент полностью пройдет и через элемент При углах наклона и нормалей к обоим элементам к отрезку, соединяющему центры обоих элементов друг с другом, равному величина светового потока определится формулой

Действительно, согласно формуле (6.6), произведение можно рассматривать как элементарную силу света отношение же произведения будет являться элементарным телесным углом

Рис. 6.2. Световая трубка

Равным образом, полагая, что элементом излучающей поверхности является элемент а не но с той же яркостью В, а освещаемым элементом — элемент мы можем представить световой поток как произведение:

Таким образом, при расположении световой трубки в одном и том же пространстве безразлично, к какому элементу относится яркость В.

При размещении светящегося элемента на поверхности раздела двух сред с различными показателями преломления телесные углы в обеих средах будут связаны друг с другом через инвариант Штраубеля в меридиональной и сагиттальной плоскостях.

Понимая в этом случае под меридиональной плоскостью плоскость, проходящую через падающий и преломленный лучи и нормаль к преломляющей поверхности, и под сагиттальной плоскостью — плоскость, перпендикулярную к меридиональной, углы можно рассматривать как произведение дифференциалов углов

Так как в рассматриваемом случае (элемент предмета и элемент изображения совпадают друг с другом), то из инварианта Штраубеля получаем:

Отсюда следует

что позволяет проследить преобразование световой трубки в оптической системе.

Рассмотрим световой поток, входящий в оптическую систему. Обратимся к рис. 6.3, на котором представлены элемент поверхности предмета и действующее отверстие входного зрачка оптической системы. Главный луч наклонного пучка лучей, соединяющий центр элемента предмета и центр действующего отверстия зрачка, образует угол с осью системы.

Обозначив расстояние между элементом предмета и центром зрачка через можно получить величину элементарного светового потока воспринимаемого оптической системой от элемента

Рис. 6.3. К определению светового потока, входящего в систему

Весь этот световой поток, если в системе отсутствуют потери света на отражение от поверхностей линз и на поглощение в стекле, должен пройти через элемент изображения что позволяет определить его освещенность:

При переносе элемента предмета на ось системы элемент изображения тоже перейдет на ось, но его величина уже не будет, в общем случае, равной площади элемента Должны измениться также расстояние переходящее в некоторое расстояние и площадь отверстия входного зрачка. Таким образом, освещенность на оси системы получается равной

Отношение освещенностей назовем светораспределением по полю зрения или просто светораспределением и обозначим его через Ф:

Так как элемент предмета остается неизменным, то величины должны быть равны друг другу, и после сокращений формула (6.14) упрощается:

Отношение можно рассматривать как функцию виньетирования. Тогда

Для плоского предмета угол становится равным углу а отношение равным поэтому

Для системы, исправленной на дисторсию, величина элемента изображения не должна изменяться при изменении его положения, поэтому должно быть равно В этом случае светораспределение определится лишь двумя множителями:

Таким образом, светораспределение ортоскопической системы определяется произведением четвертой степени косинуса полевого угла в предметном пространстве и функции виньетирования по площади. Так как при отсутствии геометрического и аберрационного виньетирования функция виньетирования будет равна единице, получаем

Например, для полевого угла (полное поле зрения светораспределение равно

Формула (6.17) позволяет выявить влияние дисторсии на светораспределение в оптической системе.

Полагая, что величина изображения у является некоторой функцией от полевого угла, величину площади искаженного элемента изображения можно представить как произведение:

Равным образом величина площади элемента неискаженного изображения выразится так:

Согласно формулам (5.52), сагиттальное протяжение элемента искаженного изображения может быть выражено через сагиттальное увеличение и размер элемента предмета:

Для меридионального протяжения элемента искаженного изображения можно написать

Перемножая формулы (6.22) и (6.23), получаем

и тогда

В частном случае, когда величина искаженного изображения у определяется произведением

формула (6.25) преобразуется:

и функция светораспределения принимает вид

т. е. светораспределение будет целиком определяться только виньетированием по площади.

Заметим, что в данном случае дисторсия будет равна

а относительная дисторсия

Задавая величину изображения по зависимости

получаем отношение

Светораспределение в этом случае получается равным

и дисторсия

В обоих рассмотренных примерах благодаря введению значительной отрицательной дисторсии достигалось существенное улучшение светораспределения.

Перейдем к рассмотрению светораспределения для двух составляющих оптических систем, расположенных по обе стороны материальной диафрагмы.

На рис. 6.4 представлены две оптические системы в пространстве между ними расположена материальная диафрагма с отверстием, площадь которого равна Ее изображение, получаемое через систему в обратном ходе лучей, являющееся зрачком входа как для системы так и для совокупности обеих систем, обозначим через изображение той же диафрагмы через

систему II в прямом ходе лучей обозначим через оно будет служить одновременно и выходным зрачком для системы II и для совокупности обеих систем.

В первом пространстве будем рассматривать элемент предмета расположенный в точке элементарный телесный угол, опирающийся на отверстие входного зрачка и имеющий своей вершиной центр элемента предмета А, обозначим через Угол главного луча, соединяющего предметную точку А с центром входного зрачка обозначим через Положение элемента предмета на оси системы определим точкой

Рис. 6.4. Светораспределение при наличии материальной диафрагмы внутри оптической системы

Все эти величины в пространстве между оптическими системами, где расположена материальная диафрагма, будем обозначать со штрихом вверху, а все величины, относящиеся к пространству после обеих систем, — с двумя штрихами вверху.

Полагая, что в обеих системах нет потерь на отражение от поверхностей линз и нет потерь на поглощение света в стекле, можно считать, что весь элементарный световой поток, вошедший в систему через отверстие входного зрачка сохранится неизменным в пространстве между системами и в пространстве после обеих систем. В соответствии с этим можно написать

Для освещенности на элементах изображения между системами и после обеих систем получаем:

откуда следует, что

Перемещая элемент предмета на ось системы, можно получить выражения для освещенности в центре поля:

Составляя отношения формул (6.36) и (6.38), находим выражения функций светораспределения:

Отсюда следует

или, если представить формулу (6.40) в виде инварианта,

Так как формула (6.41) является полным инвариантом, то она может быть распространена на любое число оптических систем. Кроме того, формула (6.41) не оговаривает непременного расположения материальной диафрагмы между обеими системами: ее можно размещать в любом месте.

Рассмотрим несколько частных случаев.

Инвариант (6.41) приобретает особенно простой вид в случае, когда элементы предмета, промежуточного изображения и изображения после обеих систем сохраняются по всему полю неизменными:

Тогда функции светораспределения становятся равными друг другу:

Этот случай имеет место, когда каждая из систем дает плоское и неискаженное изображение, свободное от дисторсии.

Практически нет необходимости обеспечивать плоскостность промежуточного изображения, поэтому представляется интересным рассмотрение картины светораспределения для искривленного промежуточного изображения.

Обратимся к рис. 6.5, на котором дана картина хода наклонного пучка лучей при неплоском промежуточном изображении показанном сплошными линиями. Штриховыми линиями обозначена проекция элемента неплоского изображения на плоскость, перпендикулярную оси системы, проходящую через элемент расположенный на оси системы.

Расстояний вдоль оси пучка от центра диафрагмы до реального элемента обозначим через а расстояние до проекции этого элемента на плоскость — через

Равным образом телесные углы, построенные на отверстии диафрагмы с вершинами, расположенными в точках определяющих центры элементов обозначим через роль угла проекции элемента будет играть угол главного луча с осью

Площади проекций элементов на плоскости, проходящие через точки и А перпендикулярно главному лучу, должны относиться друг к другу как квадраты расстояний Таким образом,

Рис. 6.5. Перенесение проекции элемента на плоскость

Нетрудно составить отношение телесных углов

Перемножая формулы (6.44) и (6.45), находим

или

Используя эти выражения, можно переписать формулы (6.39):

откуда

Формула (6.49) также является полным инвариантом; нетрудно видеть, что коэффициенты при отношениях напоминают выражения для с той лишь разницей, что

в них вместо углов входят углы и вместо величин величины

Эти коэффициенты можно обозначить через Ф:

Тогда формула (6.49) примет вид

Инвариант (6.51) более общ, нежели инвариант (6.41), так как в нем не предполагается, что промежуточное и окончательное изображения плоские; речь идет лишь об условных светораспределениях, определяемых для плоскостей, на которые проектируются реальные изображения.

Из формулы (6.51) также следует, что при отсутствии дисторсии будет соблюдаться равенство

В соответствии с формулой (6.45) можно развернуть выражения величин входящих в формулу (6.49):

Отсюда

что приводит формулу (6.50) к виду

Для материальной диафрагмы Тогда для светораспределения получаем возвращаясь к формуле (6.52),

Из формулы (6.56) следует, что при составлении сложной системы из двух ортоскопических систем светораспределение совокупности обеих систем определяется четвертой степенью косинуса полевого угла в пространстве, где расположена материальная диафрагма, независимо от величины полевого угла в предметном пространстве и величины искривления промежуточного изображения.

Поэтому, задаваясь заранее светораспределением можно определить величину поля зрения у материальной диафрагмы

Численно, задавая освещенность на краю поля зрения получаем:

откуда величина угла поля зрения у материальной диафрагмы будет

Задавая для этого случая входное поле зрения находим угловое увеличение для первой ортоскопической системы

В некоторых практических случаях бывает необходимо создавать оптические системы с полем зрения, превосходящим 180°. Для таких систем получение изображения, свободного от дисторсии, невозможно; при угле входа, равном 90°, дисторсия будет обращаться в бесконечность.

При этом и формула (6.17), и формулы (6.48), (6.49) теряют смысл, так как в них входят либо функция виньетирования, область применения которой не предусматривает полей зрения, превосходящих 180°, либо величины которые тоже теряют смысл при полях зрения, больших 180°.

В данном случае можно воспользоваться частью второй формулы (6.39) для светораспределения:

Для систем с плоским полем зрения телесные же углы можно выразить через площади выходных зрачков Тогда