§ 80. Дифференциальное уравнение для астигматизма несферической поверхности
Обращаясь к меридиональному и сагиттальному инвариантам преломляющей поверхности, можно составить их отношение:
Меридиональный и сагиттальный радиусы кривизны связаны соотношением (14.28), откуда
Учитывая, что отношение сагиттального радиуса кривизны к ординате у, согласно формуле (14.27), равно
получаем
это позволяет формулу (15.108) представить в виде
Формула (15.112) является дифференциальным уравнением второго порядка
Перейдем к рассмотрению частных случаев.
Полагая, что несферическая поверхность является в системе последней и изображение после системы должно быть расположено в бесконечности, получаем, что отрезки 
вдоль главного луча, равные между собой, должны быть равны бесконечности. Тогда левая часть уравнения (15.112) может быть представлена в виде
Полагая, что. предмет расположен в бесконечности и астигматизм после первой поверхности уничтожен, принимаем отрезки 
равными бесконечности, а отрезки 
равными друг другу. Тогда формула (15.112) приобретает вид
Функции 
могут быть приданы разные значения. Если принять, что
то дифференциальное уравнение (15.113) будет иметь вид
Пользуясь подстановкой
получим вторую производную
и перепишем уравнение (15.113) в виде
Разделяя переменные
после интегрирования найдем
или
Снова разделяя переменные
после вторичного интегрирования получим
Совмещая начало координат с вершиной преломляющей поверхности, обращаем в нуль постоянную 
а постоянную 
приравниваем 
Тогда формула (15.125) переходит в уравнение параболы, отнесенные к вершине:
Дифференцируя формулу (15.126) и пользуясь формулой (15.116), устанавливаем связь между косинусом угла 
Возвратимся к формуле (15.113). При подстановке 
Находим
Поделив формулу (15.128) на 
и умножив на 
разделяем переменные:
После интегрирования получаем
или
откуда
После вторичного разделения переменных интегрирование дает
Интегральные методы определения профиля несферической поверхности позволяют решить задачу кардинального устранения той или иной аберрации; однако это не обеспечивает исправления аберраций, возникающих при другом ходе лучей через несферическую поверхность. Поэтому применение интегральных методов при расчетах оптических систем ограничено областью решения частных задач, например определения профилей конденсорных или ортоскопических линз.
