§ 2. Угловое увеличение. Узловые точки и узловые фокусные расстояния

Зависимость главных фокусных расстояний от выбора координатных осей создает известные неудобства; поэтому представляет интерес выбор таких точек отсчета для фокусных расстояний, расположение которых на главном луче было бы постоянным.

В качестве таких точек могут быть выбраны так называемые узловые точки, определяемые равенством углового увеличения единице.

Рис. 1.2. К определению углового увеличения

Угловое увеличение для пары сопряженных точек представленных на рис. 1.2, определяется отношением элементарных углов составленных лучами и с главным лучом в точках

Согласно рис. 1.2, величины углов могут быть выражены отношениями:

откуда

Выражая при помощи формулы Ньютона величину через получаем после сокращений

следовательно,

Задавая угловое увеличение равным единице, получим величину линейного увеличения в узловых точках

Обозначим отрезки от фокусов до узловых точек через вместе с тем, рассматривая расстояния от узловых точек до фокусов как узловые фокусные расстояния можно написать:

Величины можно выразить через главные фокусные расстояния, пользуясь формулами (1.2) и (1.8):

Формулы (1.10) дают выражения узловых фокусных расстояний через главные фокусные расстояния. Перемножая формулы (1.10), получаем

Таким образом, произведения узловых и главных фокусных расстояний получаются равными друг другу.

Развертывая формулу (1.7), можно получить инвариант Лагранжа-Гельмгольца

Этот же инвариант может быть выражен и через узловые фокусные расстояния: