§ 83. Исправление комы в симметричных и пропорциональных системах

Рассмотрим симметричную систему, составленную из двух половинок, каждая из которых не была исправлена на кому (рис. 16.4).

Пропуская через вторую половинку три параллельных друг другу луча, получим после этой половинки картину, когда главный луч пройдет вне точки пересечения обоих крайних лучей наклонного пучка, образуя некоторую меридиональную кому

Обращаясь к передней половинке и строя через нее ход тех же трех лучей в обратном направлении, также обнаружим, что и в предметном пространстве главный луч пройдет вне точки пересечения наклонных лучей, образуя предметную кому которая в силу симметрии будет равна по величине и противоположна по знаку коме на изображении

Изменяя угол главного луча с осью системы в пространстве у материальной диафрагмы, будем изменять как величину комы на изображении, так и величину комы на предмете; в силу симметрии эти изменения должны быть равными друг другу, и поэтому всегда можно подобрать такую величину угла главного луча у материальной диафрагмы, когда и предметная кома и кома на изображении будут одновременно устранены и главный луч будет проходить через точки пересечения обоих наклонных лучей как в предметной плоскости, так и в плоскости изображения.

Рис. 16.4. Кома симметричной системы

Эти выводы сделаны без каких-либо ограничений для величины полевых или апертурных углов и поэтому определяют строгое отсутствие комы у симметричной системы в случае, когда сохраняется симметрия хода лучей в пространстве предметов и в пространстве изображений, т. е. тогда, когда симметричная система работает при увеличении минус единица.

Вместе с тем можно ожидать, что при отходе от увеличения минус единица симметричная система уже не будет строго свободной от комы, что и наблюдается на практике. Учитывая это обстоятельство, попытаемся установить характер и величину меридиональной комы, возникающей при изменении увеличения.

Не ограничивая величины полевых углов, будем полагать, что апертурные углы, составляемые лучами наклонного пучка с главным лучом, будут все же не очень велики.

На любом луче из пучка наклонных лучей мы всегда сможем отыскать фокальные и узловые точки. Учитывая, что передние и задние узловые фокусные расстояния у систем, расположенных в одной и той же среде, должны быть равны друг другу по величине и отличаться только знаком, придем к заключению, что

узловые фокусные расстояния для верхнего и нижнего лучей наклонного пучка в силу симметрии должны быть строго равными друг другу.

Далее можно сделать вывод, что фокусные расстояния на наклонных лучах могут отличаться от фокусных расстояний на главном луче лишь на величины высшего порядка малости относительно величин апертурных углов.

Следовательно, и фокальные и узловые точки на лучах одного и того же наклонного пучка должны, в первом приближении, лежать на прямых, перпендикулярных главному лучу, т. е. на равных расстояниях от предметной точки и точки изображения при увеличении минус единица.

Рис. 16.5. Кома системы из пропорциональных половинок

При проектировании и фокальных и узловых точек на ось системы для разных лучей наклонного пучка должны получаться и различные положения этих проекций. Их несовпадение не есть исключительное свойство симметричных систем, а наоборот, является свойством, присущим большинству обычных оптических систем (исключая системы с телецентрическим ходом лучей).

Исходя из изложенного перейдем к непосредственному выводу формул.

Обратимся к рис. 16.5, на котором представлены ход главного луча проходящего через центры зрачков и ход луча наклонного пучка составляющего с главным лучом не очень большие углы и

Предполжим, что на этих двух лучах будут находиться предметные точки близко расположенные друг от друга. В пространстве изображений эти точки изобразятся также близко расположенными точками

Условимся, что система свободна от меридиональной кривизны; поэтому можно принять, что фокальные точки и точки

предмета и изображения на главном луче спроецируются ось в соответственных точках для нулевого луча — точках

Проекции же точек наклонного луча, обозначенные с чертой вверху, согласно ранее сказанному, не должны совпадать с аналогичными точками на оси для нулевого луча.

Используя формулу (1.73), можно связать расстояния между точками

Раскрывая скобки, получаем

Произведения и должны быть равными друг другу; кроме того, отбрасывая величины высшего порядка малости, получаем

Разделив все члены формулы (16.14) на фокусное расстояние системы, нетрудно перейти к увеличениям и Находим

Если точки узловые, то для них угловое увеличение должно быть равным единице; одновременно, учитывая равенство показателей преломления первой и последней сред, приходим к выводу о равенстве единице и линейного увеличения Это позволяет написать

При равных углах и что и имеет место для симметричных систем, должно наблюдаться равенство

Учитывая равенство (16.17) и умножая формулу (16.16) на увеличение находим

или

Из формулы (16.19) следует, что при изменении положения предмета происходит изменение величины отрезка которое можно рассматривать как изменение длины элемента дуги каустики изображения по функции второй степени относительно увеличения

В частном случае симметричной системы при увеличении правая часть формулы (16.19) обращается в нуль (так как и тогда длина элемента дуги каустики на изображении становится равной длине элемента дуги каустики на предмете.

Обратимся к рис. 16.6, на котором представлен ход двух лучей в пространстве изображений.

Рис. 16.6. К определению радиуса каустики

Зная величины апертурного угла полевого угла и величину нетрудно определить и радиус каустики Согласно рис. 16.6, находим

Равным сбразом может быть получено выражение и для радиуса предметной каустики:

При переходе к радиусам каустик в фокальных плоскостях величины обращаются в нуль, а величины Тогда

Возвратимся к формуле (16.19). Заменяя в этой формуле величины через и и учитывая, что для симметричной системы углы будут равны, так же как и величины находим

или, пользуясь формулами (16.20) - (16.22), t 2

окончательно

Для симметричных систем должно соблюдаться равенство

и тогда формула (16.25) преобразуется:

В частном случае, если предмет свободен от комы будут иметь место равенства:

Предположим теперь, что мы имеем дело с системой с симметричным ходом главного луча, когда углы будут равны друг другу, но кома в задней фокальной плоскости будет устранена.

Тогда в формуле (16.25) следует положить если и предмет будет свободен от комы, то эта формула примет вид

Значение радиуса комы может быть определено исходя из условия Игнатовского (см. § 19) по приближенной формуле, которую приводим без вывода:

или

и тогда формула (16.28) принимает вид

В частности, полагая увеличение находим

Перейдем к рассмотрению системы, построенной из подобных половинок с коэффициентом подобия, равным Тогда должно иметь место

где радиус каустики второй половинки.

Так как в этом случае увеличение должно быть равным —?, то можно, задаваясь устранением комы в фокальной плоскости всей системы, написать, согласно (16.25),

откуда

Формула (16.35) есть условие, при соблюдении которого пропорциональная система становится свободной от комы.

Для практических целей большое отличие коэффициента от единицы нежелательно; поэтому, полагая, что находим

Отсюда вытекает, что при малых а величина должна быть велика, т. е. кома половинки, из которой составлена пропорциональная система, должна быть значительной.

Решая формулу (16.35) относительно находим

Создание пропорциональных систем позволяет, наряду с исправлением астигматизма и дисторсии, устранять кому, которая возникает в симметричных системах при переходе от увеличения минус единица к расположению предмета в бесконечности.

Кроме изменения комы при таком переходе происходит и изменение сферической аберрации; однако, учитывая возможность изменения сферической аберрации в исходной половинке системы, можно подобрать такое значение исходной сферической аберрации, при котором переход к положению предмета в бесконечности приведет к ее устранению во всей системе.